Cantors Ende
Hi Eckard, hi zusammen,
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass das einfachste, aktual Unendliche, wie es von IN repr=E4sentiert wird, schon jene Grenze =FCberschreitet, die das Fundament der Mathematik bildet: Die Relativit=E4t. Wenn Addition, Multiplikation, Potenzierung (und deren Umkehrfunktion) nichts mehr an der Quantit=E4t der betrachteten Menge =E4ndern k=F6nnen, halte ich die Mathematik nicht mehr f=FCr zust=E4ndig. Was da versucht wird, n=E4mlich das Prinzip der Relativit=E4t mittels sog. "M=E4chtigkeiten" auf verschiedene Unendlichkeiten auszudehnen und somit die aktuale Unendlichkeit in den mathematischen Zust=E4ndigkeitsbereich hinein zu holen, scheint mir nicht nur sehr fragw=FCrdig, sondern fatal falsch. Ich denke, dass in den diesbez=FCglichen "Beweisf=FChrungen" ein grundlegender logischer Trugschluss steckt. Cantor benutzte zur Beweisf=FChrung Argumente aus der Logik des Endlichen. Erst sp=E4ter, nachdem auf dieser Basis die =DCberunendlichkeit erdichtet war, wiess man auf eine empirisch gefundene, rudiment=E4re Logik des =DCberunendlichen hin, die sich in vielen Punkten von der Logik des Endlichen unterscheidet. Sie war inkonsistent zur bisherigen, hat nicht konsequent und konsekutiv auf der endlichen Logik aufgebaut. Eine logische TOE (bzw. der Weg dorthin) darf aber keine solchen Unstetigkeiten enthalten. Die v=F6llig andere Logik der Cantorschen =DCberundendlichkeit, h=E4tte schon in seinen prim=E4ren, konstituierenden "Beweisen" die Grundlage bilden m=FCssen. Bi- und sonstige -jektionen stammen aus der endlichen ML. Sie k=F6nnen keine Beweisgrundlage f=FCr eine neue Mathematik stellen, die nachher in ihrer "neuen Logik" diesen Grundlagen nicht mehr gerecht wird! Vielleicht reichen die folgenden rethorischen Argumentationen sogar aus, um es zu beweisen: Pr=E4misse: Wenn das aU (aktual Unendliche) f=FCr die Zahlen aus IN angenommen wird, gibt es auch in IN unendlich viele, unendlich lange Ziffernfolgen. 1=2EArgumentation gegen bisherige Klassifizierung rational/irrational: Jede Zahl, welche (in beliebigen Stellenwertsystemen) ausschliesslich als unendlich lange Ziffernfolge dargestellt werden k=F6nnte, entzieht sich der Klassifizierung zwischen "rationalen" und "irrationalen" Zahlen. Keine nicht endende Ziffernfolge einer solchen Zahl, erreicht jemals den Status der endg=FCltigen, gr=F6ssenm=E4ssigen Bestimmtheit. Alle unendlich grossen und/oder unendlich langen Zahlen, sind explizit durch diese Unendlichkeit unbestimmt. D.h. selbst die unendlich grossen, nat=FCrlichen Zahlen werden, da sie als unendliche Ziffernfolgen bestehen, irrational (fiktiv, unbestimmt). Daraus folgt: Die unendliche L=E4nge/Gr=F6sse einer Zahl ist das Kriterium, ob eine Zahl als rational oder irrational aufzufassen ist! Es ist v=F6llig falsch so vorzugehen, als k=F6nne man beide Zahlenklassen (irrationale und rationale) als prim=E4r unabh=E4ngig von der Endlichkeitsfrage betrachten, sie ein f=FCr alle mal definitorisch der einen oder anderen Klasse zuweisen! Die Irrationalen tragen schon a priori den Unendlichkeitscharakter durch ihren unendlichen Nachkommateil. Bei denen =E4ndert sich diesbez=FCglich nichts mehr, wenn sie zus=E4tzlich in eine unendliche Menge eingebunden werden. Irrationaler als irrational geht nicht. Bei den Rationalen hingegen, f=FChrt die Einbindung in unendliche Folgen dazu, dass sie auch bez=FCglich ihrer L=E4nge unendlich werden m=FCssen! Somit treten sie durch diese Einbindung in den Status der Irrationalit=E4t hin=FCber. Im umgekehrten Fall, wie er in der technischen Praxis st=E4ndig vollzogen wird, werden die irrationalen Zahlen zu rationalen transformiert, indem sie aus ihrer Unendlichkeit herausgeholt werden. Das was so banal als "runden" bezeichnet wird, ist aus dieser Sicht die Transformation aus der Unbestimmtheit der Unendlichkeit in die bestimmte Eindeutigkeit der Rationalit=E4t. Es hat gewisse =C4hnlichkeit mit der Unbestimmtheit der Wahrscheinlichkeitsfunktion in der Physik: Innerhalb der unendlichen M=F6glichkeiten der einzelnen Wahrscheinlichkeiten, ist das Ergebnis nicht eindeutig bestimmt. Mit dem Kollaps der aus unendlich vielen Einzelwellen konstituierten Wahrscheinlichkeitswelle, wird der unendliche, unbestimmte Zustand zerst=F6rt und eine eindeutiger, realer Zustand erreicht. 2=2E Argumentation gegen sog. =DCberabz=E4hlbarkeit: Cantors 2.Diagonalargument kann ebenso auf unendlich viele, unendlich lange, nat=FCrliche Zahlen angewandt werden. Mit dem selben Ergebnis: Es l=E4sst sich immer eine Diagonalzahl konstruieren, welche, allstellig um 1 erh=F6ht, eine neue Zahl generiert, die in der erfassten, unendlichen Menge der unendlich langen, nat=FCrlichen Zahlen nicht vorkommt. Sprich: mit dem 2. Diagonal-Argument kann sogar eine Teilmenge aus IN (n=E4mlich nur jene, die unendlich lang sind) als nicht abz=E4hlbar "bewiesen" werden. Was nat=FCrlich paradox erscheint, da man von den nZ a priori Abz=E4hlbarkeit erwartet. Aber wie gezeigt, sobald man sie in die aktuale Unendlichkeit hin=FCberdenkt, bekommen sie mit der aktualen Unendlichkeit auch die Irrationalit=E4t. Das aktual Unendliche existiert a priori nur in der Irrationalit=E4t, Fiktion, als M=F6glichkeit, Wahrscheinlichkeit, Unbestimmtheit, oder sonstwas Unkonkretes. Es enth=E4lt und umfasst das Endliche, und dieses stellt f=FCr uns die Grundlage, dass Zahlen, als h=F6chste Abstraktion, in Beziehung zueinander stehen k=F6nnen. Diese ganzen Scheinbeweise bez=FCglich Alephs, =DCberabz=E4hlbarkeit und h=F6herer M=E4chtigkeit sind damit keinen Pfifferling wert, die gesamte Cantorsche Unendlichkeitsunlogik st=FCrzt zusammen, wie ein Kartenhaus. Hier zeigt sich auch die Definierwut der Mathematiker als selbst geschaffene Denkfalle: Statt die Zahlen, ihre Beziehungen, Gesetze und Verhalten zu beobachten und (wie die Physiker) eine empirisch orientierte, beobachtende Gesetzeshierarchie aufzubauen, sahen sie sich als Sch=F6pfer von immer neuen Zahlen, Klassen und Axiomen und meinten, sie m=FCssten ihnen per Definition unantastbare Eigenschaften zuweisen, die sie a priori nicht besassen. P=2ES.: Das sog. potentiell Unendliche, jener unendliche Wachstumsprozess, der sich innerhalb des aU unbegrenzt ausdehnen kann, ist von obigen Argumentationen nicht betroffen. Dieser Prozess generiert endliche, konkrete Intervalle, (immerhin mit unendlichem Potenzial), ist damit auch der endlichen Logik zug=E4nglich. Gruss Peter
Axel schrieb: > "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:1137346808.166533.280340@g43g2000cwa.googlegroups.com...
>
>
> > Beispiel: Jede Menge gerader nat=FCrlicher Zahlen enth=E4lt mindestens
> > eine Zahl, die gr=F6=DFer als ihre Kardinalzahl ist, wie etwa |{2, 4, 6=
}|
> > =3D 3 < 6.
> > Das l=E4=DFt sich zwar per Induktion f=FCr jede Menge aus geraden
> > nat=FCrlichen Zahlen beweisen, gilt aber doch nicht immer. Warum nicht?
>
> Hallo W.,
> die obige Aussage =FCber die Beweisbarkeit per Induktion
> ist leider *falsch*.
> Die Menge, =FCber die hier eine Behauptung aufgestellt wird,
> ist *keine induktive* Menge ( weder besitzt sie ein Element 1 noch
> einen direkten Nachfolger n+1 f=FCr jedes Element n der Menge).
>
> Ein (vollst=E4ndiger) induktiver Beweis ist aber nur
> =FCber Aussagen A(n), mit n Element einer induktiver
> Menge, zu f=FChren.
Nimm einfach alle nat=FCrlichen Zahlen (M=E4chtigkeiten der betrachtetn Mengen) f=FCr den Beweis und multipliziere anschlie=DFend jede mit 2. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
> > albrecht schrieb:
> > > hbdere schrieb:
> > >>albrecht wrote:
> > >>
> >
> > ...
> >
> > > (!Jemanden zu verstehen heisst ja nicht, ihm Recht zu geben!)
> > >
> > Ein wahrhaft weiser Satz.
>
> Nun f=FCr einige der hier versammelten Mengenlehrer gilt wohl eher die
> Umkehrung: Jemandem Recht zu geben, hei=DFt nicht, ihn zu verstehen.
>
> Gru=DF, WM
Der ist gut. Amicus wird sich totgelacht haben (heimlich). Wuhahaha. Gru=DF AS
Markus Sigg schrieb: > WM wrote:
>
> > Markus Sigg schrieb:
> >
> >
> >
> >>>an der Mathematik =E4ndern m=FC=DFte. Was w=FCrde sich auf Ihrem spezi=
ellen
> >>>Gebiet, sie sind ja kein hauptamtlicher Mengenlehrer (diese Bezeichnung
> >>>soll =FCbrigens keine Beleidigung sein, sondern lediglich eine
> >>>pr=E4gnante Abk=FCrzung), was also w=FCrde sich auf Ihrem Gebiet =E4nd=
ern?
> >>
> >>Es w=E4re schwer besch=E4digt.
> >
> >
> > K=F6nnen Sie einen Schaden konkret nennen?
>
> Wenn etwa das Unendlichkeitsaxiom zu einem Widerspruch f=FChren w=FCrde,
> w=E4re das Arbeiten mit unendlichdimensionalen Vektorr=E4umen in der
> Funktionalanalysis bedroht. Die Quantenmechaniker w=FC=DFten nicht mehr,
> womit sie die Welt beschreiben sollten, wenn es die Funktionenr=E4ume
> nicht g=E4be, mit deren Elementen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
> beschrieben werden.
Ja glauben Sie denn im Ernst, da=DF sich auch nur ein Ergebnis der theoretischen Physik wegen dieser albernen Behauptung, die sich Unendlichkeitsaxiom nennt, =E4ndern w=FCrde? Damit w=E4re die potentielle Unendlichkeit doch nicht gef=E4hrdet. >
> >>Welche rationalen Zahlen existieren z.B. in Ihrer Mathematik?
> >
> >
> > Jede, die der Trichotomie gehorcht.
>
> Also alle, die es in der Standardmathematik auch gibt. Na prima.
> Oder sind rationale Zahlen bei Ihnen auch anders definiert als in
> der Standardmathematik?
Die Zahl P/P' existiert nicht, weder in "meiner", noch in Ihrer Mathematik. Nur Sie haben es noch nicht bemerkt. P =3D floor(pi*10^10^100], P' =3D P mit letzter Stelle in 5 ge=E4ndert. >
> >>Gibt es in Ihrer Mathematik das Objekt, das in der Standardmathematik
> >>"Einheitsquadrat" hei=DFt? Falls ja, was f=FCr ein Ding ist das in Ihrer
> >>Mathematik?
> >
> >
> > Das Einheitsquadrat nat=FCrlich. (Es ist keine Zahl, aber in Ihrer
> > Mathematik wohl auch nicht.)
> >
> > Gru=DF, WM
>
> Ich wei=DF noch immer nicht, was das Einheitsquadrat in Ihrer Mathematik =
ist.
> Bei mir ist es die Menge der Punkte (x,y) mit reellen x,y mit 0 <=3D x,y =
<=3D 1.
> Gibt es bei Ihnen so eine Menge? Oder nennen Sie das anders?
> Oder besteht Ihr Einheitsquadrat nur aus den Punkten (x,y) mit rationalen
> x,y mit 0 <=3D x,y <=3D 1?
Das Einheitsquadrat enth=E4lt bei mir genau wie bei ihnen alle Punkte, deren Koordinaten (x,y) als Zahlen mit 0 <=3D x <=3D 1 und 0 <=3D y <=3D 1existieren. >
> K=F6nnen Sie Ihrem Einheitsquadrat einen Fl=E4cheninhalt zuweisen? Falls =
ja, wie
> machen Sie das? K=F6nnen Sie auch Teilbereichen Ihres Einheitsquadrats ei=
nen
> Fl=E4cheninhalt zuweisen? Sagen wir dem Bereich der Punkte (x,y) des Einh=
eits-
> quadrats mit y <=3D sqrt(x)?
Aber sicher. Genau so genau und elegant wie Sie das k=F6nnen. Wir rechnen mit der Idee sqrt(x) solange, bis jemand wissen m=F6che, was wirklich herauskommt. Dann kommt die rationale Approximation. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Ja glauben Sie denn im Ernst, daß sich auch nur ein Ergebnis der
> theoretischen Physik wegen dieser albernen Behauptung, die sich
> Unendlichkeitsaxiom nennt, ändern würde?
> Damit wäre die potentielle Unendlichkeit doch nicht gefährdet.
Wenn Sie das so großspurig behaupten, dann geben Sie doch bitte eine Formulierung der Grundlagen der Quantenmechanik an, die keinen Gebrauch von unendlichdimensionalen Hilberträumen macht. Geben Sie z.B. eine Formulierung der Parsevalschen Gleichung in Ihrer Pseudomathematik an, die Ihrer Meinung nach für die Physiker brauchbar ist. >>>>Welche rationalen Zahlen existieren z.B. in Ihrer Mathematik?
>>>
>>>
>>>Jede, die der Trichotomie gehorcht.
>>
>>Also alle, die es in der Standardmathematik auch gibt. Na prima.
>>Oder sind rationale Zahlen bei Ihnen auch anders definiert als in
>>der Standardmathematik?
>
>
> Die Zahl P/P' existiert nicht, weder in "meiner", noch in Ihrer
> Mathematik. Nur Sie haben es noch nicht bemerkt. P =
> floor(pi*10^10^100], P' = P mit letzter Stelle in 5 geändert.
Was sind denn nun rationale Zahlen in Ihrer Mathematik? Existieren sie? Welche existieren? Weichen Sie nicht aus. Geben Sie eine Antwort. >>>>Gibt es in Ihrer Mathematik das Objekt, das in der Standardmathematik
>>>>"Einheitsquadrat" heißt? Falls ja, was für ein Ding ist das in Ihrer
>>>>Mathematik?
>>>
>>>
>>>Das Einheitsquadrat natürlich. (Es ist keine Zahl, aber in Ihrer
>>>Mathematik wohl auch nicht.)
>>>
>>>Gruß, WM
>>
>>Ich weiß noch immer nicht, was das Einheitsquadrat in Ihrer Mathematik ist.
>>Bei mir ist es die Menge der Punkte (x,y) mit reellen x,y mit 0 <= x,y <= 1.
>>Gibt es bei Ihnen so eine Menge? Oder nennen Sie das anders?
>>Oder besteht Ihr Einheitsquadrat nur aus den Punkten (x,y) mit rationalen
>>x,y mit 0 <= x,y <= 1?
>
>
> Das Einheitsquadrat enthält bei mir genau wie bei ihnen alle Punkte,
> deren Koordinaten (x,y) als Zahlen mit 0 <= x <= 1 und 0 <= y <=
> 1existieren.
Rationale Zahlen? Reelle Zahlen? Von welchen Zahlen sprechen Sie jetzt? >>Können Sie Ihrem Einheitsquadrat einen Flächeninhalt zuweisen? Falls ja, wie
>>machen Sie das? Können Sie auch Teilbereichen Ihres Einheitsquadrats einen
>>Flächeninhalt zuweisen? Sagen wir dem Bereich der Punkte (x,y) des Einheits-
>>quadrats mit y <= sqrt(x)?
>
>
> Aber sicher. Genau so genau und elegant wie Sie das können. Wir
> rechnen mit der Idee sqrt(x) solange, bis jemand wissen möche, was
> wirklich herauskommt. Dann kommt die rationale Approximation.
Erklären Sie mir, wie Sie mit Ideen rechnen. Erklären Sie mir, wie Sie die Fläche des Einheitsquadrats oder kompliziertere Dinge ausrechnen. Sind Sie sich bewußt, daß Sie dabei fortwährend mit den Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen arbeiten, speziell auch mit seiner Vollständigkeit? Können Sie diese Vollständigkeitseigenschaft in Ihrer Pseudomathematik denn auch nur ausdrücken? Oder machen wir es ein bißchen einfacher. Sie haben bisher nicht nur nirgends einen konsistenten Abriß Ihrer Mathematik gegeben, Sie sind auch jeden Beleg für ihre Nützlichkeit und Vorteile gegenüber der richtigen Mathematik schuldig geblieben. Beantworten Sie etwa die folgenden Fragen: 1) Gibt es in Ihrer Mathematik das, was in der Standardmathematik als das reelle Intervall [0,1] bekannt ist? Falls ja: 2) Wie ist [0,1] bei Ihnen definiert? Woraus besteht es? Ist es eine Menge? Falls ja: 3) Existieren für Sie Teilmengen der Menge [0,1]? Falls ja, welche? Falls ja: 4) Können Sie Teilmengen von [0,1] sinnvoll einen Inhalt zuweisen? Können Sie also mit Ihrer Pseudomathematik eine Maßtheorie entwickeln? Sinnvoll heißt etwa mindestens: Additivität, Translationsinvarianz. Falls ja: 5) Welchen Teilmengen von [0,1] können Sie einen Inhalt zuweisen? Wie machen Sie das? Soweit Sie die Fragen 1-4 mit nein beantworten, geben Sie bitte die Alternativen an, die Ihre Mathematik zu bieten hat. Falls Sie meinen, daß diese Begriffe überflüssig seien, dann begründen Sie das bitte. Gruß, Markus Sigg
Rudolf Sponsel schrieb: > > In der deutschen oder englischen, erg=E4nzt durch ein paar Symbole, die
> > inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
> >
> > 1 e M
> > n e M =3D=3D> n+1 e M
> > AM: |N c M
> >
> > Gru=DF, WM
> >
> Wie sind "e", "n", "M", "N" und "c" erkl=E4rt?
e ist das epsilon f=FCr "ist Element von". n ist eine Zahl. |N ist die Menge der nat=FCrlichen Zahlen. c bedeutet "ist Untermenge von", M ist eine Menge die 1 und wenn n, dann auch n+1 enth=E4lt. > Wie lautet "AM: |N c M" in Worten (ich lese M 'umfasst' |N bzw. |N in M
> 'enthalten')?
Richtig: |N ist Untermenge jeder solcherma=DFen definierten Menge M. (AM hei=DFt, es gilt f=FCr alle Mengen M.) > Und welche Regeln gelten?
Die bekannte Wahrheitstafel f=FCr die Implikation. >
> Vielleicht sollte die drei Axiome nebst ihrerm Regelwerk in einem
> =FCbersichtlicheren Thread noch einmal durchspielen?
Nein, das w=E4re langweilig. Man ben=F6tigt die Symbole nicht einmal. Es sind nur Abk=FCrzungen. Man kann das alles in gew=F6hnlicher Sprache sagen. Das Problem ist auch nicht, da=DF die Logiker diese Axiome in ihrer Struktur nicht verst=FCnden, sondern da=DF sie partout nicht wissen, was +1 bedeutet. Gru=DF, WM
Amicus schrieb: > Das (bzw. ein) Problem bei Deinem Ansatz ist aber, dass darin
> WESENTLICHE Eigenschaften der nat=FCrlichen Zahlen bzw. der 'Addition'
> nicht _formalisiert_ sind. (Sich also auch nicht herleiten/beweisen
> lassen.)
Hast Du auch einen kubisch formalisierten Kopf? "+1" ist *die* Grundlage der Mathematik. Da noch tiefer gehen zu wollen, ist schlicht Spinnkram. Man sieht ja, was dabei rumkommt. >
> ***Beweise*** mal unter Benutzung Deiner Axiome, dass es kein n e IN
> gibt mit n + 1 =3D 0.
Aus meinen Axiomen folgt nicht die Existenz eines Objektes "0". Es sind Axiome f=FCr die nat=FCrlichen Zahlen. Die kamen tausende von Jahren ohne 0 aus. Aus meinen Axiomen folgt aber, da=DF 1 die kleinste nat=FCrliche Zahl ist, denn w=E4re eine noch kleinere drin (nennen wir sie mal 0 oder -omega oder wie auch immer), dann w=FCrde sie bei Bildung des Durchschnittes herausfallen, denn mindestens eine Menge geh=F6rt ja dazu, in welcher 1 die erste Zahl ist. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 09:46:36 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>
>> ***Beweise*** mal unter Benutzung Deiner Axiome, dass es kein n e IN
>> gibt mit n + 1 = 0.
>>
> Aus meinen Axiomen folgt nicht die Existenz eines Objektes "0".
>
Ah, ja, sorry. Also bitte:
***Beweise*** mal unter Benutzung Deiner Axiome, dass es kein n e IN gibt mit n+1 = 1. Danke. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Rudolf Sponsel schrieb: > Steht in: Dietz, Burkhard (1996). Erich Philipp Ploennies (1672-1751).
> Leben und Werk eines mathematische Praktiker der Fr=FChaufkl=E4rung.
> Neustadt/ Aisch: Schmidt, S. 157, hier ein Zitat:
>
> "Ein praktisches geometrisches Problem stellt die Frage der
> Kreisberechnung zu Beginn des 18. Jahrhunderts allerdings nicht mehr
> dar, da mit den =DCbersetzungen des 13. und 14. Jahrhunderts aus dem
> Arabischen die Zahl Pi bereits gel=E4ufig und die Berechnung von Kreisen
> keine solche Schwierigkeit mehr darstellte wie beispielsweise im
> Mittelalter, als die Zahl noch mit 2 : 3 angenommen wurde.
Danke. Ich vermute einen Druckfehler in Deiner Quelle, so da=DF da eigentlich 2 bis 3 gemeint ist. 2,8 gab es durchaus. Aber da=DF der Durchmesser l=E4nger als der Kreisumfang ist, kann eigentlich niemand behaupten (au=DFer es folgt aus ZFC, analog zu Banach-Tarski). Aber vor Einf=FChrung der modernen Logik war es ganz bestimmt ausgeschlossen. Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>>Steht in: Dietz, Burkhard (1996). Erich Philipp Ploennies (1672-1751).
>>Leben und Werk eines mathematische Praktiker der Frühaufklärung.
>>Neustadt/ Aisch: Schmidt, S. 157, hier ein Zitat:
>>
>>"Ein praktisches geometrisches Problem stellt die Frage der
>>Kreisberechnung zu Beginn des 18. Jahrhunderts allerdings nicht mehr
>>dar, da mit den Übersetzungen des 13. und 14. Jahrhunderts aus dem
>>Arabischen die Zahl Pi bereits geläufig und die Berechnung von Kreisen
>>keine solche Schwierigkeit mehr darstellte wie beispielsweise im
>>Mittelalter, als die Zahl noch mit 2 : 3 angenommen wurde.
>
>
> Danke. Ich vermute einen Druckfehler in Deiner Quelle, so daß da
> eigentlich 2 bis 3 gemeint ist. 2,8 gab es durchaus. Aber daß der
Hm, das kann gut sein. Kam damals keiner auf die Idee einfach mal zu 'messen' mit einer Schnur? Aber messen war verpönt, man schaute lieber bei Aristoteles nach, wie ich Brechts Galileo entnehme. Na ja, und die Geometriker wären vielleicht auch nicht begeistert. > Durchmesser länger als der Kreisumfang ist, kann eigentlich niemand
> behaupten (außer es folgt aus ZFC, analog zu Banach-Tarski). Aber vor
> Einführung der modernen Logik war es ganz bestimmt ausgeschlossen.
>
> Gruß, WM
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rudolf Sponsel schrieb: > >>>pi =3D 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einf=FChr=
en.
> >
> > Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
> > Es ist n=E4mlich nur eine Zeitungsente gewesen.
> >
> Hm, wu=DFtest Du das, WM?
Nein, ich glaube es auch nicht. Um meine Aussage zu beweisen, werde ich aber nicht die Archive des Bundesstaates Indiana durchw=FChlen, denn ich habe das in zahlreichen seri=F6sen Werken gelesen und kenne sogar den Namen desjenigen, der es schlie=DFlich verhindert hat / haben soll. (Vielleicht waren ja auch die Mondlandungen Zeitungsenten, und wir leben in einer Hohlwelt. Ein paar als Vorlage geeignete K=F6pfe sind hier ja versammelt.) >
> Unbeschadet dieser Geschichte waren die historischen Beispiele schob
> beeindruckend. Als ich das von pi =3D 2/3 im Mittelalter las, wollte ich
> es gar nicht glauben. War die scholastische Logik nicht hochentwickelt?
Nicht in der Mathematik. Noch im 15. Jahrhundert wurden an deutschen Uiversit=E4ten =DCbungen mit dem Abakus angeboten. Pi =3D 2/3 ist mir bisher allerdings nicht vorgekommen. Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>
>
>>>>>pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>>>
>>>Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
>>>Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
>>>
>>
>>Hm, wußtest Du das, WM?
>
>
> Nein, ich glaube es auch nicht. Um meine Aussage zu beweisen, werde ich
> aber nicht die Archive des Bundesstaates Indiana durchwühlen, denn ich
> habe das in zahlreichen seriösen Werken gelesen und kenne sogar den
> Namen desjenigen, der es schließlich verhindert hat / haben soll.
> (Vielleicht waren ja auch die Mondlandungen Zeitungsenten, und wir
> leben in einer Hohlwelt. Ein paar als Vorlage geeignete Köpfe sind
> hier ja versammelt.)
>
Hat sich inzwischen zu Deinen Gunsten aufgeklärt.
>>Unbeschadet dieser Geschichte waren die historischen Beispiele schob
>>beeindruckend. Als ich das von pi = 2/3 im Mittelalter las, wollte ich
>>es gar nicht glauben. War die scholastische Logik nicht hochentwickelt?
>
>
> Nicht in der Mathematik. Noch im 15. Jahrhundert wurden an deutschen
> Uiversitäten Übungen mit dem Abakus angeboten. Pi = 2/3 ist mir
> bisher allerdings nicht vorgekommen.
>
Steht in: Dietz, Burkhard (1996). Erich Philipp Ploennies (1672-1751).
Leben und Werk eines mathematische Praktiker der Frühaufklärung. Neustadt/ Aisch: Schmidt, S. 157, hier ein Zitat: "Ein praktisches geometrisches Problemstellt die Frage der Kreisberechnung zu Beginn des 18. Jahrhunderts allerdings nicht mehr dar, da mit den Übersetzungen des 13. und 14. Jahrhunderts aus dem Arabischen die Zahl Pi bereits geläufig und die Berechnung von Kreisen keine solche Schwierigkeit mehr darstellte wie beispielsweise im Mittelalter, als die Zahl noch mit 2 : 3 angenommen wurde. In seiner Studie ging Ploennies das Problem so an, daß er von der Entdeckung der Leibnizschen Grenzwertbetrachtungen aus versuchte, geometrisch einen Grenzwert für den Umfang eines Kreises zu ermitteln, d.h. er folgte nicht Archimedes und teilte den Kreis nicht in eine Reihe von regelmäßiges Dreiecken ein." Es folgen ein paar Seiten mit Zeichnungen, am Ende kommt raus 2=2, vom Autor als banal bezeichnet. Ploennies war Baumeister in Hessen-Darmmstadt, Landmesser am Niederrhein und Mathe-Prof in Gießen > Gruß, WM
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>
>
>
>>>In der deutschen oder englischen, ergänzt durch ein paar Symbole, die
>>>inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
>>>
>>>1 e M
>>>n e M ==> n+1 e M
>>>AM: |N c M
>>>
>>>Gruß, WM
>>>
>>
>>Wie sind "e", "n", "M", "N" und "c" erklärt?
>
>
> e ist das epsilon für "ist Element von". n ist eine Zahl. |N ist die
> Menge der natürlichen Zahlen. c bedeutet "ist Untermenge von", M ist
> eine Menge die 1 und wenn n, dann auch n+1 enthält.
>
>
>>Wie lautet "AM: |N c M" in Worten (ich lese M 'umfasst' |N bzw. |N in M
>>'enthalten')?
>
>
> Richtig: |N ist Untermenge jeder solchermaßen definierten Menge M. (AM
> heißt, es gilt für alle Mengen M.)
>
>
>>Und welche Regeln gelten?
>
>
> Die bekannte Wahrheitstafel für die Implikation.
>
...
>
> Gruß, WM
>
Ok, so weit aufgeklärt. Noch ein paar Fragen.
Nicht so recht verstehe ich, wozu "AM: |N c M" und das neue ML-System überhaupt gebraucht wird. Was kann man damit machen, soll damit gemacht werden? Eindrucksmäßig erinnert es mich grob an einen 'abgespeckten Peano'. Ist das so gedacht? |N, nehme ich an, ist potentiell unendlich gegeben und wird nicht aktual aufgefaßt. Wie würden da die Z oder Q in M untergebracht oder ist das nicht vorgesehen? Wie sieht es hier mit der 'Gleichmächtigkeit' aus, speziell |N und |N_gerade oder wird auf diesen Begriff verzichtet? Rudolf Sponsel, Erlangen
peter schurr schrieb: > Hi WM,
>
> hier ein Link, der sich auf jeden Fall lohnt. Es geht um ein
> pysikalisches Modell welches auf diskreten Raumpunkten und diskreten
> Zahlen im nichteuklidischen Raum basiert. Ich hab mich vor einigen
> Monaten =FCber l=E4ngere Zeit damit befasst und auch einige Routinen
> daf=FCr programmiert.
>
> http://www.zero-d.de/d/d1/dorn.html
> Das Gesamtwerk l=E4sst sich komplett runterladen.
>
> Viel Spass und neue Erkenntnisse damit
> Gruss Peter Schurr
Ich bin da skeptisch. (Ich habe mir das noch nicht angesehen, weil ich zu Hause keinen ISDN-Anschlu=DF besitze.) Aber es gab schon einen =E4hnlichen Ansatz im 19 Jahrhundert. Karl Chr. Langsdorf, Professor in Heidelberg, glaube ich, sagte: Es gibt Raumpunkte und Zeitpunkte: Die Urgeschwindigkeit ist das Vorr=FCcken im Raster um einen Raumpunkt in einem Zeitpunkt. Andere Geschwindigkeiten beinhalten Ruhe. Nicht orthogonale Bewegung beinhaltet Stufen. Aber wenn ich Einstein vertrauen darf, so irrte Langsdorf. Und ich vertraue Einstein. Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Amicus schrieb:
>
> > >> Christian Kortes hat hier mit seiner kritischen Anmerkung absolut
> > >> recht.
> > >>
> > > Nein, er hat nicht recht.
> > >
> > Hat er doch. :-)
>
> Do[(1 to 100), If[Amicus "Hat er doch"], Delete, Write "Hat er nicht"]
> >
> > Wie auch immer, Herr M=FCckenheim, wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass
> > gilt:
> >
> > An e IN n+1 =3D/=3D 1
>
> Den hast Du in meinem betreffenden Beitrag gel=F6scht, als dessen
> Antwort Du die Frage formuliertest. Ich schrieb dort:
>
> "Aus meinen Axiomen folgt nicht die Existenz eines Objektes "0". Es
> sind
> Axiome f=FCr die nat=FCrlichen Zahlen. Die kamen tausende von Jahren ohne
>
> 0 aus."
>
> Und jetzt bitte aufmerken:
>
> "Aus meinen Axiomen folgt aber, da=DF 1 die kleinste nat=FCrliche
> Zahl ist, denn w=E4re eine noch kleinere drin (nennen wir sie mal 0 oder
>
> -omega oder wie auch immer), dann w=FCrde sie bei Bildung des
> Durchschnittes herausfallen, denn mindestens eine Menge geh=F6rt ja
> dazu, in welcher 1 die erste Zahl ist."
>
> Ich f=FCge hinzu: Es ist ein Zeichen f=FCr die Perversion des Denkens
> (ein sehr sch=F6nes und hier immer wieder mit gro=DFer Freude von mir
> zitiertes Wort), wenn man in den nat=FCrlichen Zahlen beweisen mu=DF, das
> die Eins, die erste Zahl also, die erste Zahl ist. Alles n=E4mlich, was
> Dir als Beweismittel daf=FCr zur Verf=FCgung zu stehen scheint, ist
> weniger wert und weniger fundamental als diese Wahrheit selbst.
>
> Gru=DF, WM
Hi WM, hier ein Link, der sich auf jeden Fall lohnt. Es geht um ein pysikalisches Modell welches auf diskreten Raumpunkten und diskreten Zahlen im nichteuklidischen Raum basiert. Ich hab mich vor einigen Monaten =FCber l=E4ngere Zeit damit befasst und auch einige Routinen daf=FCr programmiert. http://www.zero-d.de/d/d1/dorn.html Das Gesamtwerk l=E4sst sich komplett runterladen. Viel Spass und neue Erkenntnisse damit Gruss Peter Schurr
On 21 Jan 2006 08:01:12 -0800, "peter schurr"
<peter.schurr@freenet.de> wrote: >WM schrieb:
>
>> Amicus schrieb:
>>
>> > >> Christian Kortes hat hier mit seiner kritischen Anmerkung absolut
>> > >> recht.
>> > >>
>> > > Nein, er hat nicht recht.
>> > >
>> > Hat er doch. :-)
>>
>> Do[(1 to 100), If[Amicus "Hat er doch"], Delete, Write "Hat er nicht"]
>> >
>> > Wie auch immer, Herr Mückenheim, wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass
>> > gilt:
>> >
>> > An e IN n+1 =/= 1
>>
>> Den hast Du in meinem betreffenden Beitrag gelöscht, als dessen
>> Antwort Du die Frage formuliertest. Ich schrieb dort:
>>
>> "Aus meinen Axiomen folgt nicht die Existenz eines Objektes "0". Es
>> sind
>> Axiome für die natürlichen Zahlen. Die kamen tausende von Jahren ohne
>>
>> 0 aus."
>>
>> Und jetzt bitte aufmerken:
>>
>> "Aus meinen Axiomen folgt aber, daß 1 die kleinste natürliche
>> Zahl ist, denn wäre eine noch kleinere drin (nennen wir sie mal 0 oder
>>
>> -omega oder wie auch immer), dann würde sie bei Bildung des
>> Durchschnittes herausfallen, denn mindestens eine Menge gehört ja
>> dazu, in welcher 1 die erste Zahl ist."
>>
>> Ich füge hinzu: Es ist ein Zeichen für die Perversion des Denkens
>> (ein sehr schönes und hier immer wieder mit großer Freude von mir
>> zitiertes Wort), wenn man in den natürlichen Zahlen beweisen muß, das
>> die Eins, die erste Zahl also, die erste Zahl ist. Alles nämlich, was
>> Dir als Beweismittel dafür zur Verfügung zu stehen scheint, ist
>> weniger wert und weniger fundamental als diese Wahrheit selbst.
>>
>> Gruß, WM
>
>Hi WM,
>
>hier ein Link, der sich auf jeden Fall lohnt. Es geht um ein
>pysikalisches Modell welches auf diskreten Raumpunkten und diskreten
>Zahlen im nichteuklidischen Raum basiert. Ich hab mich vor einigen
>Monaten über längere Zeit damit befasst und auch einige Routinen
>dafür programmiert.
Auch in VB?
>
>http://www.zero-d.de/d/d1/dorn.html
>Das Gesamtwerk lässt sich komplett runterladen.
Na, wenn das dein Niveau ist, wird mir alles klar.
>Viel Spass und neue Erkenntnisse damit
>Gruss Peter Schurr
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Simple errors penetrate the work of Dedekind, Cantor,Zermolo,Hilbert,Russell,Hausdorff,Fraenkel,Goedel, etc and they are not so hardly understandable. (Eckard Blumschein)
Amicus schrieb: > >> Christian Kortes hat hier mit seiner kritischen Anmerkung absolut
> >> recht.
> >>
> > Nein, er hat nicht recht.
> >
> Hat er doch. :-)
Do[(1 to 100), If[Amicus "Hat er doch"], Delete, Write "Hat er nicht"] >
> Wie auch immer, Herr M=FCckenheim, wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass
> gilt:
>
> An e IN n+1 =3D/=3D 1
Den hast Du in meinem betreffenden Beitrag gel=F6scht, als dessen Antwort Du die Frage formuliertest. Ich schrieb dort: "Aus meinen Axiomen folgt nicht die Existenz eines Objektes "0". Es sind Axiome f=FCr die nat=FCrlichen Zahlen. Die kamen tausende von Jahren ohne 0 aus." Und jetzt bitte aufmerken: "Aus meinen Axiomen folgt aber, da=DF 1 die kleinste nat=FCrliche Zahl ist, denn w=E4re eine noch kleinere drin (nennen wir sie mal 0 oder -omega oder wie auch immer), dann w=FCrde sie bei Bildung des Durchschnittes herausfallen, denn mindestens eine Menge geh=F6rt ja dazu, in welcher 1 die erste Zahl ist." Ich f=FCge hinzu: Es ist ein Zeichen f=FCr die Perversion des Denkens (ein sehr sch=F6nes und hier immer wieder mit gro=DFer Freude von mir zitiertes Wort), wenn man in den nat=FCrlichen Zahlen beweisen mu=DF, das die Eins, die erste Zahl also, die erste Zahl ist. Alles n=E4mlich, was Dir als Beweismittel daf=FCr zur Verf=FCgung zu stehen scheint, ist weniger wert und weniger fundamental als diese Wahrheit selbst. Gru=DF, WM
Amicus schrieb: >
> Satz (M=FCckenheim):
>
> Durch Addition von 1 wird eine nat=FCrliche
> Zahl stets gr=F6=DFer.
>
> Symbolisch: An e IN : n + 1 > n.
>
> Beweis (Amicus):
Nein, das ist kein Satz, der eines Beweises bedarf. Die Kenntnis von +1 ist der Ausgangspunkt =FCberhaupt. Wer das nicht wei=DF, sollte sich von der Mathematik fernhalten. Gru=DF, WM
On 25 Jan 2006 10:43:30 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Nein, das ist kein Satz, der eines Beweises bedarf.
>
Unsinn. Da der Satz offenbar kein Axiom ist (oder sind Sie da anderer
Meinung?) bedarf er - wie j e d e r mathematische Satz (der kein Axiom ist) - eines Beweises. "Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden." (Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?) >
> Die Kenntnis von +1 ist der Ausgangspunkt überhaupt.
>
Was Sie meinen, ist, dass die Nachfolgeroperation "+1" (meist als S(.)
oder (.)' geschrieben) der Ausgangspunkt überhaupt ist, damit haben Sie auch recht. Das ändert aber nichts an dem oben Gesagten. >
> Wer das nicht weiß, sollte sich von der Mathematik fernhalten.
>
Das wurde Ihnen schon des öfteren und von unterschiedlicher Seite
nahegelegt, Herr Mückenheim: dass Sie sich von der Mathematik fern- halten sollten; Sie verstehen sie einfach nicht. :-) "Learn some logic. Learn some mathematics. Or better yet, give up mathematics and take up basket weaving." (from sci.math, @Mückenheim) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 21 Jan 2006 07:35:18 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Program WM;
> Do[(1 to 100), If[Amicus "Hat er doch"], Delete, Write "Hat er nicht"]
> End WM.
>
Delete Program WM
Program A; Print("Hat er doch!") End A. Run Program A >>
>> ...wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass gilt:
>>
>> An e IN n+1 =/= 1
>>
> Den hast Du in meinem betreffenden Beitrag gelöscht, als dessen
> Antwort Du die Frage formuliertest.
>
Oha, das muss ich übersehen haben. Sie hatten da einen BEWEIS
angegeben? >
> Ich schrieb dort [...]:
>
> Aus meinen Axiomen folgt aber, daß 1 die kleinste natürliche
> Zahl ist [...]
>
Herr Mückenheim, das ist eine BEHAUPTUNG, kein BEWEIS.
Ein BEWEIS ist eine logische Schlusskette, die mit Axiomen (oder einem Axiom) beginnt, und bei dem zu beweisen Satz endet. Dieser Beweis zeigt dann, dass der bewiesene Satz (wie behauptet) tatsächlich aus den Axiomen "folgt." Bitte geben Sie so einen BEWEIS an. Danke. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Sat, 21 Jan 2006 17:03:07 +0100, Amicus <nomail@invalid> wrote:
Kleine Korrektur. >>>
>>> ...wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass gilt:
>>>
>>> An e IN n+1 =/= 1
>>>
>>> ?
>>>
> Ein BEWEIS ist [in der Mathematik] eine logische Schlusskette, die
> mit Axiomen (oder auch nur éinem Axiom) beginnen, und mit dem zu
> beweisenden Satz endet. [Schon bewiesene Sätze sind natürlich auch
> zugelassen.] So ein Beweis zeigt dann, dass der bewiesene Satz (wie
> behauptet) tatsächlich aus den Axiomen "folgt."
>
> Bitte geben Sie so einen BEWEIS an. Danke.
>
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
>> > In der deutschen oder englischen, ergänzt durch ein paar Symbole, die
>> > inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
>> >
>> > 1 e M
>> > n e M ==> n+1 e M
>> > AM: |N c M
Hm, dann hat IN höchstens zwei Elemente, denn der Körper IF_2 erfüllt deine Axiome: 1 e IF_2 n e IF_2 ==> n+1 e {0,1} = IF_2.
Christian Kortes schrieb:
> WM wrote:
>
>>>>In der deutschen oder englischen, ergänzt durch ein paar Symbole, die
>>>>inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
>>>>
>>>>1 e M
>>>>n e M ==> n+1 e M
>>>>AM: |N c M
>
>
> Hm, dann hat IN höchstens zwei Elemente, denn der Körper
> IF_2 erfüllt deine Axiome:
>
> 1 e IF_2
> n e IF_2 ==> n+1 e {0,1} = IF_2.
Verstehe ich nicht. Ich lese das nicht aus den Angaben. IF_2 gehört zu M, aber weshalb sollte IF_2 = IN sein? Rudolf Sponsel, Erlangen
On Mon, 16 Jan 2006 22:44:27 +0100, Rudolf Sponsel
<rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote: >
> Verstehe ich nicht.
>
Boah, w e r hätte d a s gedacht?! :-o
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Mon, 16 Jan 2006 16:49:10 +0100, Christian Kortes
<kortes@uni-muenster.de> wrote: >>>>
>>>> 1 e M (1)
>>>> n e M ==> n+1 e M (2)
>>>> AM: |N c M (3)
>>>>
> Hm, dann hat IN höchstens zwei Elemente, denn der Körper
> IF_2 erfüllt deine Axiome:
>
> 1 e IF_2
> n e IF_2 ==> n+1 e {0,1} = IF_2.
>
Aus (3) allerdings, dass IN Teilmenge j e d e r Menge ist. Also müsste IN auch Teilmenge von 0 sein (wenn wir mal annehmen, dass es so etwas wie die leere Menge gibt in Mückenheims Welt, wer weiß das schon?) D. h. IN ist leer. Das aber steht im Widerspruch zu (1). Kurz: Wir haben es wieder mal mit typischem WM-Unsinn zu tun. :-) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Mon, 16 Jan 2006 17:12:50 +0100, Amicus <nomail@invalid> wrote:
>On Mon, 16 Jan 2006 16:49:10 +0100, Christian Kortes
><kortes@uni-muenster.de> wrote:
>
>>>>>
>>>>> 1 e M (1)
>>>>> n e M ==> n+1 e M (2)
>>>>> AM: |N c M (3)
>>>>>
>> Hm, dann hat IN höchstens zwei Elemente, denn der Körper
>> IF_2 erfüllt deine Axiome:
>>
>> 1 e IF_2
>> n e IF_2 ==> n+1 e {0,1} = IF_2.
>>
>
folgt v > Aus (3) allerdings, dass IN Teilmenge j e d e r Menge ist. Also müsste
> IN auch Teilmenge von 0 sein (wenn wir mal annehmen, dass es so etwas
> wie die leere Menge gibt in Mückenheims Welt, wer weiß das schon?)
> D. h. IN ist leer. Das aber steht im Widerspruch zu (1).
>
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Markus Sigg schrieb: > > an der Mathematik =E4ndern m=FC=DFte. Was w=FCrde sich auf Ihrem spezie=
llen
> > Gebiet, sie sind ja kein hauptamtlicher Mengenlehrer (diese Bezeichnung
> > soll =FCbrigens keine Beleidigung sein, sondern lediglich eine
> > pr=E4gnante Abk=FCrzung), was also w=FCrde sich auf Ihrem Gebiet =E4nde=
rn?
>
> Es w=E4re schwer besch=E4digt.
K=F6nnen Sie einen Schaden konkret nennen? > > > Den Unterschied zwischen dem, was ist, und dem, was nicht ist.
>
> Welche rationalen Zahlen existieren z.B. in Ihrer Mathematik?
Jede, die der Trichotomie gehorcht. > Gibt es in Ihrer Mathematik das Objekt, das in der Standardmathematik
> "Einheitsquadrat" hei=DFt? Falls ja, was f=FCr ein Ding ist das in Ihrer
> Mathematik?
Das Einheitsquadrat nat=FCrlich. (Es ist keine Zahl, aber in Ihrer Mathematik wohl auch nicht.) Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>
>>>an der Mathematik ändern müßte. Was würde sich auf Ihrem speziellen
>>>Gebiet, sie sind ja kein hauptamtlicher Mengenlehrer (diese Bezeichnung
>>>soll übrigens keine Beleidigung sein, sondern lediglich eine
>>>prägnante Abkürzung), was also würde sich auf Ihrem Gebiet ändern?
>>
>>Es wäre schwer beschädigt.
>
>
> Können Sie einen Schaden konkret nennen?
Wenn etwa das Unendlichkeitsaxiom zu einem Widerspruch führen würde, wäre das Arbeiten mit unendlichdimensionalen Vektorräumen in der Funktionalanalysis bedroht. Die Quantenmechaniker wüßten nicht mehr, womit sie die Welt beschreiben sollten, wenn es die Funktionenräume nicht gäbe, mit deren Elementen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten beschrieben werden. Ich habe aber nicht die geringste Sorge, daß es dazu kommt. Nicht, wenn ich die Qualität Ihrer Argumente sehe. >>>>Den Unterschied zwischen dem, was ist, und dem, was nicht ist.
>>
>>Welche rationalen Zahlen existieren z.B. in Ihrer Mathematik?
>
>
> Jede, die der Trichotomie gehorcht.
Also alle, die es in der Standardmathematik auch gibt. Na prima. Oder sind rationale Zahlen bei Ihnen auch anders definiert als in der Standardmathematik? >>Gibt es in Ihrer Mathematik das Objekt, das in der Standardmathematik
>>"Einheitsquadrat" heißt? Falls ja, was für ein Ding ist das in Ihrer
>>Mathematik?
>
>
> Das Einheitsquadrat natürlich. (Es ist keine Zahl, aber in Ihrer
> Mathematik wohl auch nicht.)
>
> Gruß, WM
Ich weiß noch immer nicht, was das Einheitsquadrat in Ihrer Mathematik ist. Bei mir ist es die Menge der Punkte (x,y) mit reellen x,y mit 0 <= x,y <= 1. Gibt es bei Ihnen so eine Menge? Oder nennen Sie das anders? Oder besteht Ihr Einheitsquadrat nur aus den Punkten (x,y) mit rationalen x,y mit 0 <= x,y <= 1? Können Sie Ihrem Einheitsquadrat einen Flächeninhalt zuweisen? Falls ja, wie machen Sie das? Können Sie auch Teilbereichen Ihres Einheitsquadrats einen Flächeninhalt zuweisen? Sagen wir dem Bereich der Punkte (x,y) des Einheits- quadrats mit y <= sqrt(x)? Gruß, Markus Sigg
Rudolf Sponsel schrieb: > albrecht schrieb:
> > hbdere schrieb:
> >>albrecht wrote:
> >>
>
> ...
>
> > (!Jemanden zu verstehen heisst ja nicht, ihm Recht zu geben!)
> >
> Ein wahrhaft weiser Satz.
Nun f=FCr einige der hier versammelten Mengenlehrer gilt wohl eher die Umkehrung: Jemandem Recht zu geben, hei=DFt nicht, ihn zu verstehen. Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>
>>albrecht schrieb:
>>
>>>hbdere schrieb:
>>>
>>>>albrecht wrote:
>>>>
>>
>>...
>>
>> > (!Jemanden zu verstehen heisst ja nicht, ihm Recht zu geben!)
>>
>>Ein wahrhaft weiser Satz.
>
>
> Nun für einige der hier versammelten Mengenlehrer gilt wohl eher die
> Umkehrung: Jemandem Recht zu geben, heißt nicht, ihn zu verstehen.
>
> Gruß, WM
>
Auch interessant.
Rudolf Sponsel, Erlangen
Norbert Marrek schrieb: > Also den Induktionsbeweis m=F6chte ich einmal sehen.
> Er geht n=E4mlich nur f=FCr endliche Mengen gerader Zahlen !
>
Er geht nur f=FCr endliche Zahlen. Und er geht f=FCr alle endlichen Zahlen. Oder f=FCr welche endliche Zahl ginge er wohl nicht? Gru=DF, WM
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > Das setzt der Baum auch voraus. Trotzdem ist die Menge seiner Knoten
> > und auch seiner Kanten abz=E4hlbar.
> Das ist Handwedelei und kein Beweis.
Ich sehe, Sie haben nicht einmal die Definition der Abz=E4hlbarkeit verstanden. Fragen Sie doch den Amicus. Der ist zwar schlau genug, um auf das Argument als solches nicht einzugehen, wird sich aber wohl nicht weigern, Ihnen in dieser einfachen Frage Nachhilfe zu erteilen. Oder versuchen Sie zur Abwechslung mal selbst zu denken: Gibt es eine Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), die Sie nicht numerieren k=F6nnen? - Na also. - Und einen solchen Fall nennt man "abz=E4hlbar (unendlich)". Gru=DF, WM
On 16 Jan 2006 05:17:06 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>>
>>> ...die Menge seiner Knoten und auch seiner Kanten [ist]
>>> abzählbar.
>>>
>> Das ist Handwedelei und kein Beweis.
>>
Mag sein. Dennoch hat Herr Mückenheim hier recht.
>
> Fragen Sie doch den Amicus.
>
Wo Sie recht haben, haben Sie recht.
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Oder versuchen Sie zur Abwechslung mal selbst zu denken: Gibt es eine
> Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), die Sie nicht
> numerieren können? - Na also. - Und einen solchen Fall nennt man
> "abzählbar (unendlich)".
Also wärmen wir den alten Kaffee noch einmal auf: Was da oben steht, ist sicherlich richtig. Ja, tatsächlich. Damit können wir also einen Schrit weitergehen: Gibt es eine Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), durch die nur ein einziger Pfad läuft? Nein, es gibt sie nicht. Also sagt die Anzahl der Kanten nichts über die Anzahl der Pfade aus. Oder doch? Ja, man kann eine Injektion finden, die jeder Kante einen Pfad zuordnet, also gibt es mindestens so viele Pfade wie Kanten. Nur gibt es keine Surjektion, wie hier schon vor Monaten ausgiebig ausdiskutiert. Damals gab es von Ihrer Seite Vorschläge für eine solche Surjektion, die aber allesamt per Gegenbeispiel als nicht surjektiv aufgezeigt wurden. Gruß, Christopher
Christopher Creutzig wrote:
> WM wrote:
>
>
>>Oder versuchen Sie zur Abwechslung mal selbst zu denken: Gibt es eine
>>Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), die Sie nicht
>>numerieren können? - Na also. - Und einen solchen Fall nennt man
>>"abzählbar (unendlich)".
>
>
> Also wärmen wir den alten Kaffee noch einmal auf: Was da oben steht,
> ist sicherlich richtig. Ja, tatsächlich. Damit können wir also einen
> Schrit weitergehen: Gibt es eine Kante im Baum (mit aktual unendlich
> vielen Ebenen), durch die nur ein einziger Pfad läuft? Nein, es gibt
> sie nicht. Also sagt die Anzahl der Kanten nichts über die Anzahl der
> Pfade aus. Oder doch? Ja, man kann eine Injektion finden, die jeder
> Kante einen Pfad zuordnet, also gibt es mindestens so viele Pfade wie
> Kanten. Nur gibt es keine Surjektion, wie hier schon vor Monaten
> ausgiebig ausdiskutiert. Damals gab es von Ihrer Seite Vorschläge für
> eine solche Surjektion, die aber allesamt per Gegenbeispiel als nicht
> surjektiv aufgezeigt wurden.
>
>
> Gruß,
> Christopher
Kann es sein, daß Herr Mückenheim an einer Art Amnesie leidet? Eine selektive Amnesie, die ihn alle Erklärungen, die seine Behauptungen widerlegen, nach wenigen Tagen wieder vergessen läßt? Gruß, Markus
On 2006-01-16, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
>
> hbdere schrieb:
>
>> WM wrote:
>> > Das setzt der Baum auch voraus. Trotzdem ist die Menge seiner Knoten
>> > und auch seiner Kanten abzählbar.
>
>> Das ist Handwedelei und kein Beweis.
>
> Ich sehe, Sie haben nicht einmal die Definition der Abzählbarkeit
> verstanden. Fragen Sie doch den Amicus. Der ist zwar schlau genug, um
> auf das Argument als solches nicht einzugehen, wird sich aber wohl
> nicht weigern, Ihnen in dieser einfachen Frage Nachhilfe zu erteilen.
> Oder versuchen Sie zur Abwechslung mal selbst zu denken: Gibt es eine
> Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), die Sie nicht
> numerieren können? - Na also. - Und einen solchen Fall nennt man
> "abzählbar (unendlich)".
Ja, es gibt abzählbar viele Kanten, immer noch. Aber nicht abzählbar viele Pfade. Das sind also Deine Argumente, die niemand entkräftet? Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
On Mon, 16 Jan 2006 14:14:01 +0000 (UTC), Carsten Schultz
<carsten@codimi.de> wrote: >On 2006-01-16, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
>>
>> hbdere schrieb:
>>
>>> WM wrote:
>>> > Das setzt der Baum auch voraus. Trotzdem ist die Menge seiner Knoten
>>> > und auch seiner Kanten abzählbar.
>>
>>> Das ist Handwedelei und kein Beweis.
>>
>> Ich sehe, Sie haben nicht einmal die Definition der Abzählbarkeit
>> verstanden. Fragen Sie doch den Amicus. Der ist zwar schlau genug, um
>> auf das Argument als solches nicht einzugehen, wird sich aber wohl
>> nicht weigern, Ihnen in dieser einfachen Frage Nachhilfe zu erteilen.
>> Oder versuchen Sie zur Abwechslung mal selbst zu denken: Gibt es eine
>> Kante im Baum (mit aktual unendlich vielen Ebenen), die Sie nicht
>> numerieren können? - Na also. - Und einen solchen Fall nennt man
>> "abzählbar (unendlich)".
>
>Ja, es gibt abzählbar viele Kanten, immer noch. Aber nicht abzählbar
>viele Pfade.
>
>Das sind also Deine Argumente, die niemand entkräftet?
Seine Argumente sind schon x-mal entkräftet worden,
nur er lässt keine Bewiese zu, die ihm nicht in den Kram passen. Das kommt von seiner Unfähigkeit logisch denken zu können. (Er kann ja nicht mal die Quantoren auseinander halten) >
>Gruß,
>
>Carsten
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
On Mon, 16 Jan 2006 16:30:50 +0100, Rolf Albinger
<rolf-albinger@onlinehome.de> wrote: >>
>> Das sind also Deine Argumente, die niemand entkräftet?
>>
> Seine [WMs] Argumente sind schon x-mal entkräftet worden,
> nur er lässt keine Beweise zu, die ihm nicht in den Kram
> passen.
>
Ja. Das habe ich auch schon leidvoll erfahren müssen. Mit *mathe-
matischen* Argumenten (=Beweisen) kann WM offenbar nicht allzu viel anfangen. >
> Das kommt von seiner Unfähigkeit logisch denken zu können.
> (Er kann ja nicht mal die Quantoren auseinander halten.)
>
Tja, man könnte das jetzt für eine böswillige Unterstellung halten,
leider ist es ganz einfach wahr! :-( A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Das setzt der Baum auch voraus. Trotzdem ist die Menge seiner Knoten
> und auch seiner Kanten abz=E4hlbar.
Das ist Handwedelei und kein Beweis. Im Endeffekt sagen Sie die ganze
Zeit nur eines: "Cantors Beweis ist falsch und es ist alles genau andersrum". Das wird aber nur in mannigfaltigem Gewandt behauptet. Und ist somit nutzlos. Viel Spass noch.
Amicus schrieb: > Nix da. Wir wollen doch korrekt formulieren, oder etwas nicht?! :-)
>
> Wenn es eine letzte Kante gibt, ist es eben n i c h t einfach /kein/
> bin=E4rer Baum mehr, sondern halt nur ein /endlicher/ bin=E4rer Baum; wo-
> bei mir nicht ganz klar ist, was WM hier mit "letzter Kante" bezeich-
> net...
Das zeigt nur die Inkonsistenz der ML. Wenn es eine vollendete Unendlicheit gibt, dann gibt es nat=FCrlich auch das Ende (denn das steckt schon im Wort vollendet). Das ist dann wohl ein unendliches Ende, das ber=FChmte omega, weil es ein endliches ja nicht sein kann. Wenn es also eine irrationale Zahl gibt, die sich in jeder Stelle von den Zahlen in Cantors Liste unterscheidet, dann auch in der letzten. Da diese nicht endlich numeriert werde kann, ist sie unendlich numeriert - aber damit leider gar nicht numeriert. Die Definition, da=DF sich eine reelle Zahl nicht in einer bestimmten Stelle von allen anderen unterscheidet, sich aber von jeder anderen in mindestens einer Stelle unterscheidet, ist just die Definition der potentiellen Unendlichkeit: Es kommt immer noch eine Verzweigung im Baum. Es sind nicht alle von Anfang an da. Nun ist man aber heute der Meinung, da=DF Mengen statische Gebilde seien. Und in dem dem Falle *kommt* nichts mehr, sondern alles ist schon da. Das ist das bittere Ende. > Aber, im Zusammenhang mit einem _unendlichen_ bin=E4ren Baum von einer
> "letzten Kante" zu sprechen, ist halt wieder einmal typischer, inkon-
> sistenter
Kern der Mengenlehre: vollendete Unendlichkeit, statische Mengen. Denen und dem ist nichts hinzuzuf=FCgen. Gru=DF, WM
On 17 Jan 2006 06:57:23 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>
>> Wenn es eine letzte Kante gibt, ist es eben n i c h t einfach /kein/
>> binärer Baum mehr, sondern halt nur ein /endlicher/ binärer Baum [...]
>>
> Das zeigt nur [bla bla bla]
>
Mückenheim, Sie faseln schon wieder.
>
> Kern der Mengenlehre: vollendete Unendlichkeit, statische Mengen. Denen
> und dem ist nichts hinzuzufügen.
>
Ja, könnte man gelten lassen.
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 1/17/2006 3:57 PM, WM wrote:
> Kern der Mengenlehre: vollendete Unendlichkeit, statische Mengen. Denen
> und dem ist nichts hinzuzufügen.
Vielleicht doch. Es gibt ja Konsequenzen. Irgendwer hatte auf die QM und unendlichdimensionale Hilberträume hingewiesen. Das Standardmodell scheint trotz vieler gut vorhergesagter Details laut HvH eventuell noch nicht der letzte Schrei zu sein. Ich sehe einen begründeten Verdacht für einen mathematischen Fehler. Die Hilbert-Räume mögen dabei nur als Hindernis fungieren welches den Durchblick behindert. Gruss, Eckard
On Tue, 17 Jan 2006 16:28:37 +0100, Eckard Blumschein
<blumschein@et.uni-magdeburg.de> wrote: >On 1/17/2006 3:57 PM, WM wrote:
>
>
>> Kern der Mengenlehre: vollendete Unendlichkeit, statische Mengen. Denen
>> und dem ist nichts hinzuzufügen.
>
>Vielleicht doch. Es gibt ja Konsequenzen. Irgendwer hatte auf die QM und
>unendlichdimensionale Hilberträume hingewiesen. Das Standardmodell
>scheint trotz vieler gut vorhergesagter Details laut HvH eventuell noch
>nicht der letzte Schrei zu sein. Ich sehe einen begründeten Verdacht für
>einen mathematischen Fehler. Die Hilbert-Räume mögen dabei nur als
>Hindernis fungieren welches den Durchblick behindert.
Bis jetzt war er nur größenwahnsinnig,
nun wird er wahrlich zum Messias; nicht nur zum Messias der Mathematik, sondern auch zu dem der Physik. (Wie dämlich muss man wirklich sein, um sich so zu gebärden?) >Gruss,
>Eckard, der das schafft, was tausende von Physikern nicht schaffen
Viel Spass weiterhin Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
On Tue, 17 Jan 2006 16:55:35 +0100, Rolf Albinger wrote:
>>Gruss,
>>Eckard, der das schafft, was tausende von Physikern nicht schaffen
Falsch zitiert. Der Nachsatz stammt nicht von Eckard. Flo -- Palimm Palimm! http://tapas.affenbande.org
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > > Gegenargumente, gute wie schlechte. Meines waere erst einmal der
> > > fehlende Nachweis der Abzaehlbarkeit der Knoten/Kanten.
> > Das ist ein schlechtes. Sie k=F6nnen von jedem Knoten Ebene und Nummer
> > (z. B. von links) angeben. Das ist eindeutig Abz=E4hlbarkeit (f=FCr
> > Knoten und auch Kanten), analog zu den algebraischen Zahlen.
> Tja, schade. Jetzt versteh ich das.
Nein, Sie verstehen es nicht. Der Baum ist genau so tief wie Cantors Liste. Dort wird eine in der Regel irrationale Zahl aus abz=E4hlbar unendlich vielen Ebenen (in diesem Falle Eintr=E4gen) erzeugt. Es gibt keinerlei Unterschied zum Baum. > Wir haben uns mit viel Schwung
> einmal im Kreis gedreht. Denn natuerlich geht Ihr Argument nur durch,
> wenn man der Baum nur potentiell unendlich viele Knoten hat. Gaebe es
> ein Level der Tiefe "unendlich", waere das schon gar nicht mehr so
> klar, ob man dann noch so einfach durchzaehlen kann.
Es gibt auch in Cantors Liste kein Level der Tiefe unendlich, weil man dort n=E4mlich die Diagonazahl nicht mehr finden k=F6nnte. > Was Sie also mit ihrem Baum bewiesen haben ist, dass die Menge der
> Kommazahlen mit endlichen Nachkommastellen abzaehlbar ist.
Wieder falsch. Dann k=F6nnte auch Cantors Liste keine Irrationalzahl als Diagonalzahl erzeugen. > Dann koennten wir uns darueber streiten, ob nun 1/3 in Ihrem Baum drin
> ist oder nicht. Aber genauso gut koennten wir uns gleich darueber
> streiten, ob es transzendente Zahlen gibt oder nicht. Ihren Baum
> braucht es dafuer nicht.
Was in Cantors Liste drin sein kann, kann auch im Baum sein, denn er besitzt genau dieselbe Anzahl von Levels. (Was davon wirklich existiert, steht hier nicht zur Debatte.) >
> Und als Angriff auf Cantors Diagonalargument ist es auch nicht zu
> gebrauchen, da dass, wenn ich mich nicht sehr taeusche, die Tatsache,
> dass eine reelle Zahl aktual unendlich viele Nachkommastellen hat,
> schon voraussetzt.
Das setzt der Baum auch voraus. Trotzdem ist die Menge seiner Knoten und auch seiner Kanten abz=E4hlbar. Gru=DF, WM
WM wrote:
> > Gegenargumente, gute wie schlechte. Meines waere erst einmal der
> > fehlende Nachweis der Abzaehlbarkeit der Knoten/Kanten.
> Das ist ein schlechtes. Sie k=F6nnen von jedem Knoten Ebene und Nummer
> (z. B. von links) angeben. Das ist eindeutig Abz=E4hlbarkeit (f=FCr
> Knoten und auch Kanten), analog zu den algebraischen Zahlen.
Tja, schade. Jetzt versteh ich das. Wir haben uns mit viel Schwung
einmal im Kreis gedreht. Denn natuerlich geht Ihr Argument nur durch, wenn man der Baum nur potentiell unendlich viele Knoten hat. Gaebe es ein Level der Tiefe "unendlich", waere das schon gar nicht mehr so klar, ob man dann noch so einfach durchzaehlen kann. Was Sie also mit ihrem Baum bewiesen haben ist, dass die Menge der Kommazahlen mit endlichen Nachkommastellen abzaehlbar ist. Denn wenn der Baum nur potentiell unendlich tief ist, dann folgt nach Ihrer eigenen Argumentation, dass jeder Knoten eine Zahl mit endlicher Darstellung repraesentiert. Das ist nun aber noch nicht so wirklich ueberraschend - und folgt sofort aus der Abzaehlbarkeit von IQ (Bruchstrich einfach als "." interpretieren). Jetzt muessten Sie wiederum argumentieren, dass das dann auch reicht. Dann koennten wir uns darueber streiten, ob nun 1/3 in Ihrem Baum drin ist oder nicht. Aber genauso gut koennten wir uns gleich darueber streiten, ob es transzendente Zahlen gibt oder nicht. Ihren Baum braucht es dafuer nicht. Und als Angriff auf Cantors Diagonalargument ist es auch nicht zu gebrauchen, da dass, wenn ich mich nicht sehr taeusche, die Tatsache, dass eine reelle Zahl aktual unendlich viele Nachkommastellen hat, schon voraussetzt. Mit potentiell unendlich vielen Stellen geht das vermutlich nicht durch - lasse mich aber wie immer gerne korregieren.
Amicus wrote:
> On 17 Jan 2006 05:45:31 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> wrote:
>
> >
> > Ein Logiker sagte mir, er vermute, der Beweis w=FCrde sich nicht
> > formalisieren lassen.
> >
>
> "Wovon man nicht sprechen kann, dar=FCber mu=DF man schweigen."
>
> (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, 7.)
>
>
> A.
>
Richtig. Fangen wir doch gleich in der ML an. Wir schmeissen alle nicht angebbaren Zahlen raus, da man eh nicht von ihnen sprechen kann (unangebbar =3D undar=FCbersprechbar). Dann sind wir uns doch alle einig. :-) PS: Wittgenstein solte man nicht zitieren. Gru=DF AS
On 17 Jan 2006 13:41:54 -0800, "albrecht" <albstorz@gmx.de> wrote:
>>
>> "Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen."
>>
>> (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, 7.)
>>
>
> Richtig. Fangen wir doch gleich in der ML an. Wir schmeissen alle nicht
> angebbaren Zahlen raus, da man eh nicht von ihnen sprechen kann [...]
>
Wenn man, wie Du sagst, nicht von ihnen sprechen kann, dann *sollte*
man es auch nicht tun. Das gilt auch für Dich selbst. A. P.S. Wittgenstein sagt auch nicht, dass man das, wovon man nicht sprechen kann, "raus schmeißen" soll, sondern n u r, dass man darüber schwei- gen muß (soll). Tatsächlich bejaht er explizit die /Existenz/ von nicht Aussprech- barem! "Es gibt allerdings Unaussprechliches. [...]" (L. W.) Man sollte Wittgenstein n u r dann bemühen, wenn man ihn ein wenig kennt. Das nämliche gilt auch für die Mathematik/Mengenlehre. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Markus Sigg schrieb: > > Just aus diesem Grunde gef=E4llt es mir hervorragend. Und die leere
> > Menge bleibt ihm immer leer (zu singen nach dem letzten St=FCck "Der
> > Leiermann" aus Schuberts Winterreise).
>
> Also sind wir uns an dieser Stelle einig. Ich verstehe dann aber nicht,
> weshalb Sie hier nach Dingen fragen, von denen bekannt ist, da=DF es sie
> nicht gibt.
Um uns allen immer wieder bewu=DFt zu machen, da=DF die moderne Mathematik sich zu einer Glaubensnotwendigkeit bekennt, die f=FCr jede Wissenschaft au=DFer der Theologie blamabel ist. >
> Wie sieht Ihre Alternativlogik aus? In welcher Sprache ist sie formuliert?
In der deutschen oder englischen, erg=E4nzt durch ein paar Symbole, die inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B. 1 e M n e M =3D=3D> n+1 e M AM: |N c M Gru=DF, WM
Markus Sigg schrieb: > WM wrote:
>
> > Markus Sigg schrieb:
> >
> >
> >>WM wrote:
> >>
> >>
> >>>Wer 1 + 1 =3D 0 sagt oder lehrt, ohne darauf hinzuweisen, da=DF sein "=
+1"
> >>>ein willk=FCrliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren
> >>>Geisteshaltung ist, begeht ein verabscheuungsw=FCrdiges Verbrechen
> >>>(insbesondere, wenn es in der ersten Klasse eine Schule geschieht, aber
> >>>auch anderswo). Ich benutze zum Beispiel, wenn ich diesen K=F6rper
> >>>diskutiere, andere Symbole. Das ist dann in Ordnung.
> >>
> >>Welche Symbole benutzen Sie, wenn Sie mit Uhrzeiten rechnen?
> >
> >
> > Ich bin noch nicht in die Verlegenheit gekommen, das hinzuschreiben.
> > Die Frage ist aber berechtigt und verdient eine Antwort. Grunds=E4tzlich
> > sollte man in vom Dezimalsystem abweichenden Basen entweder die
> > Zahlensymbole oder die Verkn=FCpfungssymbole geeignet kennzeichnen. Bei
> > Uhrzeiten geschieht das einfach durch gew=F6hnliche Zahlen nebst
> > Zus=E4tzen wie h, min, s, Uhr, :, hochgestellte Minutenangaben etc. und
> > bei =DCbertrag durch absolute oder relative Datumsangaben wie "23. 1.
> > 2006" oder "=FCbermorgen".
> >
> > Gru=DF, WM
>
> Nun ja, wahrscheinlich benutzen Sie auch die gewohnten Dezimalziffern,
> und ob Sie h,m,s dahinterstellen oder nicht, ich w=FCrde das nicht als
> "willk=FCrliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren Geisteshaltu=
ng"
> oder "verabscheuungsw=FCrdiges Verbrechen" bezeichnen. Ob der Z=E4hler bei
> 12 oder 24 wieder auf 0 springt oder schon bei 2, wie bei einem Bit, ist
> in dieser Frage unerheblich.
Er springt nicht wieder nur auf 0, sondern bet=E4tigt gleichzeitig einen =DCbertragshebel (das war =FCbrigens das Problem der Rechenmaschine von Leibniz, das er nie ganz in den Griff gekriegt hat, obwohl er nach eigenen Angaben ca. 24000 Taler investierte). Mit Ihrer Arithmetik h=E4tte er keine Probleme gehabt. Die hat er aber zu recht abgelehnt. Gru=DF, WM
Markus Sigg schrieb: > WM wrote:
>
> > Wer 1 + 1 =3D 0 sagt oder lehrt, ohne darauf hinzuweisen, da=DF sein "+=
1"
> > ein willk=FCrliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren
> > Geisteshaltung ist, begeht ein verabscheuungsw=FCrdiges Verbrechen
> > (insbesondere, wenn es in der ersten Klasse eine Schule geschieht, aber
> > auch anderswo). Ich benutze zum Beispiel, wenn ich diesen K=F6rper
> > diskutiere, andere Symbole. Das ist dann in Ordnung.
>
> Welche Symbole benutzen Sie, wenn Sie mit Uhrzeiten rechnen?
Ich bin noch nicht in die Verlegenheit gekommen, das hinzuschreiben. Die Frage ist aber berechtigt und verdient eine Antwort. Grunds=E4tzlich sollte man in vom Dezimalsystem abweichenden Basen entweder die Zahlensymbole oder die Verkn=FCpfungssymbole geeignet kennzeichnen. Bei Uhrzeiten geschieht das einfach durch gew=F6hnliche Zahlen nebst Zus=E4tzen wie h, min, s, Uhr, :, hochgestellte Minutenangaben etc. und bei =DCbertrag durch absolute oder relative Datumsangaben wie "23. 1. 2006" oder "=FCbermorgen". Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>WM wrote:
>>
>>
>>>Wer 1 + 1 = 0 sagt oder lehrt, ohne darauf hinzuweisen, daß sein "+1"
>>>ein willkürliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren
>>>Geisteshaltung ist, begeht ein verabscheuungswürdiges Verbrechen
>>>(insbesondere, wenn es in der ersten Klasse eine Schule geschieht, aber
>>>auch anderswo). Ich benutze zum Beispiel, wenn ich diesen Körper
>>>diskutiere, andere Symbole. Das ist dann in Ordnung.
>>
>>Welche Symbole benutzen Sie, wenn Sie mit Uhrzeiten rechnen?
>
>
> Ich bin noch nicht in die Verlegenheit gekommen, das hinzuschreiben.
> Die Frage ist aber berechtigt und verdient eine Antwort. Grundsätzlich
> sollte man in vom Dezimalsystem abweichenden Basen entweder die
> Zahlensymbole oder die Verknüpfungssymbole geeignet kennzeichnen. Bei
> Uhrzeiten geschieht das einfach durch gewöhnliche Zahlen nebst
> Zusätzen wie h, min, s, Uhr, :, hochgestellte Minutenangaben etc. und
> bei Übertrag durch absolute oder relative Datumsangaben wie "23. 1.
> 2006" oder "übermorgen".
>
> Gruß, WM
Nun ja, wahrscheinlich benutzen Sie auch die gewohnten Dezimalziffern, und ob Sie h,m,s dahinterstellen oder nicht, ich würde das nicht als "willkürliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren Geisteshaltung" oder "verabscheuungswürdiges Verbrechen" bezeichnen. Ob der Zähler bei 12 oder 24 wieder auf 0 springt oder schon bei 2, wie bei einem Bit, ist in dieser Frage unerheblich. Gruß, Markus Sigg
Amicus schrieb: > >>> Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
> >>>
> >>> 1. 0 e M
> >>> 2. An(n e M -> n+1 e M)
> >>>
> >> Dann ist also auch der K=F6rper mit zwei Elementen induktiv?
> Sorry, Herr M=FCckenheim, aber Christian Kortes hat hier mit seiner
> kritischen Anmerkung absolut recht.
Nein, er hat nicht recht. Da halte ich es mit Cantor. "Hypothesen" welche gegen diese Grundwahrheiten versto=DFen, sind ebenso falsch und widersprechend, wie etwa der Satz 2 + 2 =3D 5 oder ein viereckiger Kreis. Wer 1 + 1 =3D 0 sagt oder lehrt, ohne darauf hinzuweisen, da=DF sein "+1" ein willk=FCrliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren Geisteshaltung ist, begeht ein verabscheuungsw=FCrdiges Verbrechen (insbesondere, wenn es in der ersten Klasse eine Schule geschieht, aber auch anderswo). Ich benutze zum Beispiel, wenn ich diesen K=F6rper diskutiere, andere Symbole. Das ist dann in Ordnung. Und diese (meine und Cantors) Aussage ist und bleibt zeitlos g=FCltig und wird nicht daduch falsch, da=DF zwei "Experten" von Deinem Kaliber sich etwa daran kratzen. Gru=DF, WM
On 20 Jan 2006 03:17:27 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>>>>
>>>>> Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
>>>>>
>>>>> 1. 0 e M
>>>>> 2. An(n e M -> n+1 e M)
>>>>>
>> Christian Kortes hat hier mit seiner kritischen Anmerkung absolut
>> recht.
>>
> Nein, er hat nicht recht.
>
Hat er doch. :-)
Wie auch immer, Herr Mückenheim, wo bleibt denn nun der BEWEIS, dass gilt: An e IN n+1 =/= 1 ? A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Amicus schrieb: > On 25 Jan 2006 01:50:49 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> wrote:
>
> >
> > ...durch Addition von 1 [wird] eine Zahl stets gr=F6=DFer.
> >
> Wenn dem so ist, dann sollten aber Deine Axiome diese Tatsache
> widerspiegeln. Oder anders: es sollte aus Deinen Axiomen HERLEIT-
> BAR (=3Dbeweisbar) sein; das ist sie aber nicht. (Au=DFerdem ist nicht
> klar, was Du hier damit meinst, dass eine Zahl /gr=F6=DFer/ als eine
> andere ist.*) Wann gilt f=FCr m,n e IN dass m > n?)
Hier eine Antwort, die nur scheinbar nichts mit Deinen Argumenten zu tun hat: Skolem hat sein Paradoxon selbst gekl=E4rt. Trotzdem stand er der =DCberabz=E4hlbarkeit als sinnvollem Begriff skeptisch gegen=FCber. Warum? Warum glaub(t)en G=F6del und Cohen nicht an die Kontiuumhypothese? Wo sie doch bewiesen hatten, da=DF es rein axiomatisch keine Entscheidung gibt. "Zu Beginn dieses Jahrhunderts wurde ein selbstzerst=F6rerisches demokratisches Prinzip in die Mathematik eingef=FChrt (vor allem durch Hilbert), nach dem alle Axiomensysteme das gleiche Recht auf Analyse haben und der Wert einer mathematischen Leistung nicht durch seine Bedeutung und seinen Nutzen f=FCr andere Disziplinen bestimmt wird, sondern allein durch seine Schwierigkeit, wie beim Bergsteigen. Dieses Prinzip f=FChrte schnell dazu, da=DF die Mathematiker mit der Physik brachen und sich von allen anderen Wissenschaften abschotteten. In den Augen aller normalen Leute verwandelten sie sich in eine obskure priesterliche Kaste... Merkw=FCrdige Fragen wie Fermats Problem oder Summen von Primzahlen wurden zu angeblich zentralen Problemen der Mathematik erhoben." (Vladimir Igorewitsch Arnold) Gru=DF, WM
On 25 Jan 2006 10:38:45 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>>
>>> ...durch Addition von 1 [wird] eine Zahl stets größer.
>>>
>> Wenn dem so ist, dann sollten aber Deine Axiome diese Tatsache
>> widerspiegeln. Oder anders: es sollte aus Deinen Axiomen HERLEIT-
>> BAR (=beweisbar) sein; das ist sie aber nicht. (Außerdem ist nicht
>> klar, was Du hier damit meinst, dass eine Zahl /größer/ als eine
>> andere ist.*) Wann gilt für m,n e IN dass m > n?)
>>
> [k]eine Antwort [...]
>
Herr Mückenheim, 1. Bitte definieren Sie, was es in Rahmen des von Ihnen angegebenen "Axiomensystems" für die nat. Zahlen bedeutet, dass eine nat. Zahl m größer als eine natürliche Zahl n ist. 2. Bitte BEWEISEN Sie dann, dass auf der Grundlage dieser DEFINITION für alle n e IN gilt: n+1 > n. Danke. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Wer 1 + 1 = 0 sagt oder lehrt, ohne darauf hinzuweisen, daß sein "+1"
> ein willkürliches und artifizielles Erzeugnis einer verqueren
> Geisteshaltung ist, begeht ein verabscheuungswürdiges Verbrechen
> (insbesondere, wenn es in der ersten Klasse eine Schule geschieht, aber
> auch anderswo). Ich benutze zum Beispiel, wenn ich diesen Körper
> diskutiere, andere Symbole. Das ist dann in Ordnung.
Welche Symbole benutzen Sie, wenn Sie mit Uhrzeiten rechnen? Gruß, Markus Sigg
Amicus schrieb: > Ich wiederhole nochmal: es handelt sich dabei nicht um Axiome (denn
> dazu taugen diese Aussagen, so wie sie dastehen, nix), sondern
> lediglich um die kompakte Formulierung einiger Grundeigenschaften
> der Menge IN.
Was ist denn das Merkmal eines Axioms? Es f=E4ngt an mit "es gibt" oder "es existiert"? Nein, das ist Vergangenheit. Aber ich kann mich leicht damit abfinden, hinzuschreiben: Sei M eine Menge, die 1 enth=E4lt. Ich wiederhole nochmal: Mit drei Axiomen erzeuge ich alle nat=FCrlichen Zahlen, so da=DF jeder sie identifizieren kann, sogar Du, auch wenn Du es nicht zugibst. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 08:06:40 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>
>> Ich wiederhole nochmal: [ich fasse diese Aussagen nicht als] Axiome
>> [auf] (denn dazu taugen diese Aussagen, so wie sie dastehen, nix),
>> sondern lediglich [als] kompakte Formulierung einiger Grundeigen-
>> schaften der Menge IN.
>>
> Was ist denn das Merkmal eines Axioms?
>
Das ist eine sehr gute Frage.
Axiome bilden die "Grundelemente" jedes Beweises (jeder Herleitung) in der Mathematik/Logik. Will sagen: jede Herleitung (in einem axio- matischen System) muss mit einem Axiom beginnen. Und außer schon hergeleiteten Sätzen dürfen nur Axiome verwendet werden [und -in der Mathematik- natürlich Voraussetzungen unter denen der zu beweisende Satz gelten soll]. (Der Beweisbegriff muss etwas modifiziert werden, wenn zusätzlich auch noch Annahmen zugelassen sind. Aber das sind rein technische Details, die hier nicht von Belang sind.) >
> Ich wiederhole nochmal: Mit drei Axiomen [bla und bla]
>
Das (bzw. ein) Problem bei Deinem Ansatz ist aber, dass darin
WESENTLICHE Eigenschaften der natürlichen Zahlen bzw. der 'Addition' nicht _formalisiert_ sind. (Sich also auch nicht herleiten/beweisen lassen.) ***Beweise*** mal unter Benutzung Deiner Axiome, dass es kein n e IN gibt mit n + 1 = 0. Formal: Beweise bitte, dass aus Deinen Axiomen ~En(n e IN & n+1 = 0) bzw. An(n e IN -> n+1 =/= 0) LOGISCH FOLGT. (Wie gesagt: denn dafür sind die Axiome in der Mathematik da: um als Ausgangspunkt von Beweisen zu dienen.) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM schrieb:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>
>>>Just aus diesem Grunde gefällt es mir hervorragend. Und die leere
>>>Menge bleibt ihm immer leer (zu singen nach dem letzten Stück "Der
>>>Leiermann" aus Schuberts Winterreise).
>>
>>Also sind wir uns an dieser Stelle einig. Ich verstehe dann aber nicht,
>>weshalb Sie hier nach Dingen fragen, von denen bekannt ist, daß es sie
>>nicht gibt.
>
>
> Um uns allen immer wieder bewußt zu machen, daß die moderne
> Mathematik sich zu einer Glaubensnotwendigkeit bekennt, die für jede
> Wissenschaft außer der Theologie blamabel ist.
>
>>Wie sieht Ihre Alternativlogik aus? In welcher Sprache ist sie formuliert?
>
>
> In der deutschen oder englischen, ergänzt durch ein paar Symbole, die
> inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
>
> 1 e M
> n e M ==> n+1 e M
> AM: |N c M
>
> Gruß, WM
>
Wie sind "e", "n", "M", "N" und "c" erklärt?
Wie lautet "AM: |N c M" in Worten (ich lese M 'umfasst' |N bzw. |N in M 'enthalten')? Und welche Regeln gelten? Vielleicht sollte die drei Axiome nebst ihrerm Regelwerk in einem übersichtlicheren Thread noch einmal durchspielen? Rudolf Sponsel, Erlangen
Amicus schrieb: > On 18 Jan 2006 06:01:12 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> wrote:
>
> >
> > [1995] ca. 10 Mia. Stellen (Univ. Tokyo)
> >
> Inzwischen sind es =FCber 206 Mrd. Stellen! :-o
Danke. >
> The old world record for computation of the most digits of pi was
> achieved in September/October 1995 by Yasumasa Kanada at the
> University of Tokyo. It took 116 hours for him to compute
> 6,442,450,000 decimal places of Pi on a computer. [...]
>
> As of September 1999, we know 206,158,430,000 decimals of Pi
> (Takahashi and Kanada, calculated on a Hitachi SR8000 supercomputer).
Huch, dann werden es jetzt wohl noch mehr sein. Wenn jemand bei 10^100 Stellen angekommen ist, bitte Bescheid sagen. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>
>>>Just aus diesem Grunde gefällt es mir hervorragend. Und die leere
>>>Menge bleibt ihm immer leer (zu singen nach dem letzten Stück "Der
>>>Leiermann" aus Schuberts Winterreise).
>>
>>Also sind wir uns an dieser Stelle einig. Ich verstehe dann aber nicht,
>>weshalb Sie hier nach Dingen fragen, von denen bekannt ist, daß es sie
>>nicht gibt.
>
>
> Um uns allen immer wieder bewußt zu machen, daß die moderne
> Mathematik sich zu einer Glaubensnotwendigkeit bekennt, die für jede
> Wissenschaft außer der Theologie blamabel ist.
Die Mathematik ist die Wissenschaft, die sich am besten ihrer eigenen prinzipiellen Beschränkungen bewußt ist. Die Mathematiker haben sogar mathematische Methoden entwickelt, um diese Beschränkungen im Detail zu untersuchen. Ich finde das klasse. Von Glaubensnotwendigkeiten kann überhaupt keine Rede sein. >>Wie sieht Ihre Alternativlogik aus? In welcher Sprache ist sie formuliert?
>
>
> In der deutschen oder englischen
Geben Sie bitte die Regeln dieser Logik an? Man muß doch irgendwo festhalten, welche Schlüsse erlaubt sind, oder? > ergänzt durch ein paar Symbole, die > inzwischen wohl Allgemeingut geworden sind, z.B.
>
> 1 e M
> n e M ==> n+1 e M
> AM: |N c M
Und welche noch? "ein paar" klingt sehr überschaubar, da sollte sich doch eine Liste angeben lassen. Gruß, Markus Sigg
Markus Sigg schrieb: > Nochmal: Ich kann mir eine Welt vorstellen, die anders aufgebaut ist,
> und finde es gut, da=DF die Mathematik auch daf=FCr taugt. Sie m=FC=DFten=
Ihre
> merkw=FCrdige Mathematik (von der Sie nirgends eine schl=FCssige Darstell=
ung
> gegeben haben)
Es istdie Mathematik, die der Mathematiker auf der Stra=DFe treibt, wenn er nicht an ML denkt. Stellen Sie sich f=FCr einen kurzen Moment einmal vor, ZFC sei als inkonsistent entlarvt und der Begriff der aktual unendlichen Mengen ebenfalls. Nach einigem Training sollte das f=FCr wenigstens 10 Sekunden m=F6glich sein. In diesen 10 Sekunden =FCberlegen Sie mal, was sich nun an der Mathematik =E4ndern m=FC=DFte. Was w=FCrde sich auf Ihrem speziellen Gebiet, sie sind ja kein hauptamtlicher Mengenlehrer (diese Bezeichnung soll =FCbrigens keine Beleidigung sein, sondern lediglich eine pr=E4gnante Abk=FCrzung), was also w=FCrde sich auf Ihrem Gebiet =E4ndern? > > Damit ist die Welt aber immer noch nicht real. Entscheidend ist doch
> > folgendes: Hilft Dir die vorgestellte Welt, zu entscheiden, ob die Zahl
> > P/P' kleiner oder gleich oder gr=F6=DFer als 1 ist? (P: nat=FCrliche Za=
hl
> > aus den ersten 10^10 Stellen von Pi, P': die letzte Stelle von P durch
> > 5 ersetzt.)
Druckfehler: 10^100 ist gemeint. >
> Ich bin guter Hoffnung, da=DF man Verfahren entwickeln kann und wird, die
> diese Frage beantwortbar machen.
Dann erh=F6he ich auf 10^1000. Ich bin da nicht kleinlich. >Aber entscheidend ist diese Frage
> ohnehin nicht, was auch immer Sie damit meinen.
Den Unterschied zwischen dem, was ist, und dem, was nicht ist. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>
>>Nochmal: Ich kann mir eine Welt vorstellen, die anders aufgebaut ist,
>>und finde es gut, daß die Mathematik auch dafür taugt. Sie müßten Ihre
>>merkwürdige Mathematik (von der Sie nirgends eine schlüssige Darstellung
>>gegeben haben)
>
>
> Es istdie Mathematik, die der Mathematiker auf der Straße treibt, wenn
> er nicht an ML denkt.
Ich weiß nicht, von wem sie sprechen. > Stellen Sie sich für einen kurzen Moment einmal vor, ZFC sei als
> inkonsistent entlarvt und der Begriff der aktual unendlichen Mengen
> ebenfalls. Nach einigem Training sollte das für wenigstens 10 Sekunden
> möglich sein. In diesen 10 Sekunden überlegen Sie mal, was sich nun
> an der Mathematik ändern müßte. Was würde sich auf Ihrem speziellen
> Gebiet, sie sind ja kein hauptamtlicher Mengenlehrer (diese Bezeichnung
> soll übrigens keine Beleidigung sein, sondern lediglich eine
> prägnante Abkürzung), was also würde sich auf Ihrem Gebiet ändern?
Es wäre schwer beschädigt. Dafür würde die mathematische Logik eine Blütezeit erleben, denn die Logiker und Mengentheoretiker würden sich sofort mit Freude an die Untersuchung dieser Inkonsistenz machen. >>>Damit ist die Welt aber immer noch nicht real. Entscheidend ist doch
>>>folgendes: Hilft Dir die vorgestellte Welt, zu entscheiden, ob die Zahl
>>>P/P' kleiner oder gleich oder größer als 1 ist? (P: natürliche Zahl
>>>aus den ersten 10^10 Stellen von Pi, P': die letzte Stelle von P durch
>>>5 ersetzt.)
>
>
> Druckfehler: 10^100 ist gemeint.
>
>>Ich bin guter Hoffnung, daß man Verfahren entwickeln kann und wird, die
>>diese Frage beantwortbar machen.
>
>
> Dann erhöhe ich auf 10^1000. Ich bin da nicht kleinlich.
Sie können diese Zahl beliebig erhöhen, weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Das ficht mich aber nicht an. >>Aber entscheidend ist diese Frage
>>ohnehin nicht, was auch immer Sie damit meinen.
>
>
> Den Unterschied zwischen dem, was ist, und dem, was nicht ist.
Welche rationalen Zahlen existieren z.B. in Ihrer Mathematik? Gibt es in Ihrer Mathematik das Objekt, das in der Standardmathematik "Einheitsquadrat" heißt? Falls ja, was für ein Ding ist das in Ihrer Mathematik? Gruß, Markus Sigg
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > Gerade die Feststellung, da=C3=9F es sich bei den Indizes einer Folge um
> > ganze nat=C3=BCrliche Zahlen handelt, ist essentiell f=C3=BCr die Erken=
ntnis,
> > da=C3=9F die Menge der Glieder nicht aktual unendlich sein kann.
> Tja, wunderbar, wenn man natuerlich ERST behauptet, die Menge der
> natuerlichen Zahlen sei endlich oder nicht aktual unendlich oder was
> auch immer, dann folgt das ganz sicherlich daraus.
Es wird behauptet, sie enthalte nur endliche Zahlen (Intervalle [0, n]). daraus folgt in Kenntnis der kleinsten Differenz 1 eine endliche Anzahl, wiewohl nicht beschr=C3=A4nkt. Um eine unten auftretende Frage gleich vorwegzunehmen: Potentiell unendlich ist ein Gr=C3=B6=C3=9Fe, die jederzeit endlich aber ni= cht beschr=C3=A4nkt ist. Zum Beispiel die nat=C3=BCrlichen Zahlen (die Zahlenwe= rte) oder die seit dem Urknall verflossene Zeit in einem offenen Universum (ohne big crunch). Aktual unendlich: eine Gr=C3=B6=C3=9Fe, die nicht endlich ist, sondern die Unendlichkeit bereits erreicht oder auch =C3=BCberschritten hat. Zum Beispiel Cantors Menge der nat=C3=BCrlichen oder reellen Zahlen. > > Just darum kann ja Cantors Diagonalargument auch nicht funktionieren.
> Nein, das kann nur dann nicht funktionieren, wenn man das Unendliche
> als solches ablehnt. Tun Sie das. Aber Sie muessen das dann in die
> Praemisse schreiben. Darueberhinaus wird beim 2. Diagonalargument nicht
> vom Endlichen aufs Unendliche geschlossen, sondern von Anfang weg im
> Unendlichen argumentiert.
Das ist ein Trick, der nat=C3=BCrlich nur gilt, wenn das Unendliche existiert. Aber nach 17 Jahren hat Cantor wohl bemerkt, da=C3=9F er sich damit viel =C3=84rger erspart. Ich hatte Sie ja mehrfach auf seinen ersten Beweis von 1873 hingewiesen. Hier sind einige essentielle Satzfragmente daraus (ich habe keine Lust, die vielen griechischen Symbole umzuschreiben), so da=C3=9F sie sich =C3=BCberzeugen k=C3=B6nnen, da=C3=9F der mit Endlichem b= eginnt und ins Unendliche fortschreitet: "die ersten beiden Zahlen unserer Reihe (4), welche im Innern dieses Intervalls (mit Ausschlu=C3=9F der Grenzen) liegen, m=C3=B6gen mit alpa, beta bezeichnet werden, .... ebenso bezeichne man in unserer Reihe die ersten beiden Zahlen, welche im Innern von ( )liegen, mit ... und nach demselben Gesetze bilde man ein folgendes Intervall u. s. w. Hier sind also... der Definition nach bestimmte Zahlen unserer Reihe (4), deren Indizes im fortw=C3=A4hrenden Steigen sich befinden, und das gleiche gilt von den Zahlen =EF=80=AE=EF=80=AE=EF=80=AE= =EF=80=A0ferner nehmen die Zahlen ... ihrer Gr=C3=B6=C3=9Fe nach fortw=C3=A4hrend zu, die Zahlen . schlie=C3=9Ft ein jedes alle auf dasselbe folgenden ein." Es geht um die Verben: nehmen fortw=C3=A4hrend zu, nach demselben Gesetze fortschreitend, usw. Da ist noch keine Unendlichkeit vorausgesetzt, sonst h=C3=A4tte er seine Arbeit auch nicht ver=C3=B6ffentlicht gekriegt, denn damals h=C3=A4tte man = ihn ausgelacht. > > Nein, denn er widerlegt meine Sichtweise nicht. Ich behaupte nicht,
> > da=C3=9F die Menge der nat=C3=BCrlichen Zahlen endlich sei, sondern ich
> > behaupte, da=C3=9F sie nicht aktual unendlich sei. Das ist ein Untersch=
ied.
> Koennten Sie fuer mich hinschreiben, wo der Unterschied liegt?
s=2Eo. >
> > Letztere entsprechen einzelnen reellen Zahlen. Deren Abz=C3=A4hlbarkeit
> > folgt aus der unstrittigen Abz=C3=A4hlbarkeit der Kanten.
> Na das waere aber fein wenn die unstrittig waere. Warum dann den ganzen
> Umweg ueber die Pfadbuendel?
.=2E.
> Natuerlich gibt es sehr viel mehr
> Gegenargumente, gute wie schlechte. Meines waere erst einmal der
> fehlende Nachweis der Abzaehlbarkeit der Knoten/Kanten.
Das ist ein schlechtes. Sie k=C3=B6nnen von jedem Knoten Ebene und Nummer (z. B. von links) angeben. Das ist eindeutig Abz=C3=A4hlbarkeit (f=C3=BCr Knoten und auch Kanten), analog zu den algebraischen Zahlen. > Der Worte sind genug gewechselt, lasst uns nun endlich Taten sehn ;-)
Ihr erstes Gegenargument ist entkr=C3=A4ftet. (Wenn Sie mir nicht glauben, fragen Sie die anwesenden Mengenlehrer.) Auf zum zweiten. Gru=C3=9F, WM
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > > Einfach zu sagen "das ist wie bei Cantor" funktioniert nicht - da
> > > stehen ihnen die Quantoren im Wege.
> > Cantor stehen sie genau so im Wege, da es ja eine Stelle gibt, in der
> > sich eine reelle Zahl von allen anderen unterscheidet. Auch nicht f=FCr
> > die Diagonalzahl.
> Sie quantifizieren mal wieder falsch. An welcher Stelle unterscheidet
> sich denn 0.1 von allen anderen reellen Zahlen?
Das war ein Tippfehler, wie man aus dem anschlie=DFenden Satz erkennen k=F6nnte, wenn man wollte. > > Sie geben mir die Ziffern der Irrationalzahl, und ich kann Ihnen sagen,
> > in welchem Pfadb=FCndel sie steckt.
> Das kann ich selbst: In entweder dem linken oder rechten Pfadbuendel,
> das aus der Wurzel herauskommt. Nur was beweist das jetzt?
Es beweist, da=DF alle Irrationalzahlen im Baum sind, denn von jeder angegebenen Ziffernfolge, z.B. f=FCr pi, kann ich Ihnen ja sagen, in welchem Pfadb=FCndel dieser (bislang noch nicht vereinzelte - und das bleibt immer so - deswegen brauchen wir ja unendlich viele Ebenen) Pfad sich befindet. Also ist er drin! >
> > Nun sagen Sie, es gibt ja =FCberhaupt keine Pfade.
> Tu ich das? Vermutlich, wenn man eine hinreichend verquere Semantik von
> "gibt" zugrunde legt. Natuerlich gibt es Pfade. Sie werden nur nie
> (alle) eindeutig Kanten zugeordnet. Was Ihnen seit Monaten jeder sagt.
Jedem Pfadb=FCndel, der sich separiert, wird die Kante, an der dies geschieht, zugeordnet. Es kann kein Pfad separiert werden ohne diese Kante. Um das zu bestreiten, gen=FCgt nicht einmal eine sehr verquere Semantik. Da hei=DFt es: Augen zu und durch. Gru=DF, WM
On 18 Jan 2006 06:20:43 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >[Snip]
>Jedem Pfadbündel, der sich separiert, wird die Kante, an der dies
>geschieht, zugeordnet.
>Es kann kein Pfad separiert werden ohne diese Kante. Um das zu
>bestreiten, genügt nicht einmal eine sehr verquere Semantik. Da
>heißt es: Augen zu und durch.
Hier sieht man es wieder ganz genau:
Erst Pfadbündel, dann Pfad. Er merkt es nicht; entweder, er ist zu doof oder er ist unredlich. >Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
Amicus schrieb: > On 16 Jan 2006 08:02:27 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> wrote:
>
> >
> > Ich behaupe, da=DF man mit einer *anderen* Betrachtung, n=E4mlich mit d=
em
> > bin=E4ren Baum, zu einem *anderen*, n=E4mlich gegenteiligen Ergebnis ge-
> > langt.
> >
> Ja, wir wissen, dass Du das behauptest. Es verh=E4lt sich aber nicht so,
> wie Du behauptest.
Wei=DFt Du =FCberhaupt, was das ist? Ein schlauer Fuchs ist er ja, unser Amicus. Er l=E4=DFt sich auch nichts auf Glatteis f=FChren. > Case closed.
Das, glaube ich, k=F6nnte Dir so passen. Existenz: Man erh=E4lt solche Zahlgr=F6=DFen z. B. bei der Anwendung des Algorithmus der Wurzelextraktion aus Nicht-Potenzzahlen; der resultirende Dezimalbruch ist begrifflich v=F6llig definirt, indem man wei=DF, wie oft jedes der Elemente 1, 1/10, 1/100, ... auftritt." (WEIERSTRASS) Indem man *wei=DF*! Ach wie schad, da=DF niemand wei=DF ... Gru=DF, WM
hbdere schrieb:
> albrecht wrote:
> > Was zeigt denn dieser Beweis? Das die nat=FCrlichen Zahlen als in einer
> > Menge zusammengefasst angesehen werden k=F6nnen? Nein.
> > Das sollte doch inzwischen allen klar sein, dass niemand die
> > Unendlichkeit der nat=FCrlichen Zahlen anzweifelt. Die Frage ist doch,
> > ob es legitim ist, deren Gesamtheit als Menge aufzufassen.
> Es faellt mir recht schwer, in ein paar Tausend Postings
> herauszufinden, wer nun was genau anzweifelt. Es ist doch voellig egal
> (zumindest auf dem Niveau, auf dem wir uns hier austoben), ob man von
> den unendlichen natuerlichen Zahlen oder von einer unendlichen Menge
> natuerlicher Zahlen spricht.
Nein, nat=FCrlich nicht. > Der Beweis funktioniert genauso gut.
> Zweifelsohne gibt es eine Menge {0}. Nehmen wir nun an, eine endliche
> Menge natuerlicher Zahlen sei die Groesste die es gibt. Dann hat sie
> auch ein groesstes Element. Zaehle 1 dazu, steck es in die Menge,
> Widerspruch. Ergo gibt es wenigstens eine unendliche Menge natuerlicher
> Zahlen.
So. Und warum wird genau anders herum argumentiert, wenn es um die Gr=F6=DFe nat=FCrlicher Zahlen geht? Die Menge der nat=FCrlichen Zahlen, ich betone: die *Menge* der nat=FCrlichen Zahlen gibt es exakt deswegen, weil die angenommene Gesamtheit aller nat=FCrlicher Zahlen als Menge *definiert* wird. Willst Du behaupten, dass man genauso die Existenz einer unendlichen nat=FCrlichen Zahl *definieren* kann, wenn man bloss Lust dazu hat? Der essentielle Fehler der in Deiner und vieler anderer Denkweise steckt ist der, dass man glaubt, die *Menge* aller nat=FCrlicher Zahlen exisitiere wirklich (was das dann auch immer heissen mag) und das Unendlichkeitsaxiom greife diese Existenz einfach auf. Dem ist nicht so. Die aktual vorhandene Menge der nat. Zahlen wird axiomatisch eingef=FChrt, und es gibt keinen anderen Grund als dieses Axiom f=FCr dessen Existenz. > Und auf gleiche Weise kann man dann die noch fehlenden
> natuerlichen Zahlen dazustecken. Die Mengentheoretiker wollen mich
> sicherlich verhauen, weil ich das so ungehobelt von mir gebe, aber fuer
> unsere Zwecke wirds reichen.
Nein. das reicht nirgends hin. >
> > > Typfehler. Eine Mengen kann unendlich sein, auch wenn die Elemente der
> > > Menge begrenzt sind - Beispiel waeren die Bruchzahlen mit Zaehler 1.
> > Eben dies halte ich f=FCr ein Argument, das voll nach hinten losgeht.
> Ist das so.
>
> > Hast Du Dir Gedanken dar=FCber gemacht, was f=FCr eine Rolle die Null in
> > Deinem Beispiel spielt? Wenn unendlich viele Br=FCche mit Z=E4hler 1
> > ungleich Null sind, mit welcher Berechigung kann man den Limes dieser
> > Folge als Null ansehen?
> Verstehe kein Wort. Was hat das damit zu tun, dass die Menge {1/x | x e
> IN} unendlich gross, aber begrenzt ist? Nach unten begrenzt wird sie
> auch durch -1.
>
> > Die Null wird ja als das Objekt angesehen, dass die Folge in dem
> > fiktiven Fall "unendlich" eben erreicht. Wenn unendlich viele
> > Folgeglieder von (1/n) ungleich Null sind, dann m=FCsste man ja die Null
> > im "=DCberunendlichen" angesiedelt ansehen.
> Keine Ahnung, wovon Du redest.
Tja. Es ist eben schwer jemandem etwas zu verklickern, das v=F6llig ausserhalb seines Denkschemas liegt. Vielleicht k=F6nntest Du verstehen worauf ich hinaus will, wenn Du es versuchtest. Vielleicht willst Du es aber auch gar nicht. Darum gehe ich nicht weiter darauf ein, wenn Du nicht doch noch Interesse bekundest, das was ich meine aufzufassen. (!Jemanden zu verstehen heisst ja nicht, ihm Recht zu geben!) Gru=DF AS
albrecht schrieb:
> hbdere schrieb:
>>albrecht wrote:
>>
... > (!Jemanden zu verstehen heisst ja nicht, ihm Recht zu geben!) >
Ein wahrhaft weiser Satz.
> Gruß
> AS
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Carsten Schultz schrieb: > > Ich m=F6chte wissen, woher Sie die nat=FCrlichen Zahlen kennen, wenn
> > PA-FOPL dazu nicht ausreicht. Was verwenden Sie sonst noch als
> > Kriterum, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine nat=FCrliche Zahl ist,
> > oder nicht?
>
> Die Bedeutung von "zu entscheiden, ob eine Zahl eine nat=FCrliche Zahl
> ist" ist mir nicht klar.
Also das geht so: ich sage Dir eine Zahl, und Du sagst mir, ob es Deiner Meinung nach eine nat=FCrliche Zahl ist. > Vor allem, weil man dazu zun=E4chst wissen
> m=FCsste, was eine Zahl ist.
Das w=E4re leichter, wenn man w=FC=DFte, was eine nat=FCrliche Zahl ist. > PA redet auch =FCber nichts anderes als
> nat=FCrliche Zahlen, daher ist die Frage in diesem Zusammenhang v=F6llig
> bedeutungslos.
PA redet =FCber Nachfolger und sonst wenig. Da hei=DFt es n=E4mlich , da=DF 1 eine nat=FCrliche Zahl ist. Und dann wird etwas =FCber jede Menge nat=FCrlicher Zahlen ausgesagt, wobei v=F6llig unklar ist, was auch nur eine Menge nat=FCrlicher Zahlen (au=DFer {1}) ist. >
> Die Frage ist, welche Aussagen =FCber nat=FCrliche Zahlen wahr sind.
Wenn man nicht wei=DF, was nat=FCrliche Zahlen sind, ist diese Frage ziemlich uninteressant. Gru=DF, WM
Carsten Schultz schrieb: > > Eigentlich bin ich ein Anh=E4nger der Mengenlehre,
>
> Die Mengenlehre ist weder Religion noch Ideologie,
Nein, denn eine Religion hat den Vorteil, da=DF der Gl=E4ubige nach dem Tode besser gestellt ist als der Ungl=E4ubige, jedenfalls sofern der betreffende Gott existiert (B. Pascal). Bei einer herrschenden Ideologie haben ihre Anh=E4nger zumeist auch Vorteile, schon zu Lebzeiten. Die Mengenlehre dagegen liefert weder vor noch nach dem Tode irgendwelchen Nutzen. > Beweisen oder widerlegen kann man nur Aussagen.
Zum Beispiel die Aussage, da=DF unendliche Mengen existieren? >
> > Aber wenn dann in der Mengenlehre bei unendlichen Mengen
> > Widerspr=FCche auftauchen, sollte das m.E.bei den Fachleuten doch
> > s=E4mtliche Alarmglocken zum Klingeln bringen.
>
> Diese Bemerkung deutet auf ein Unverst=E4ndnis der Mathematik hin.
das ist allerdings richtig (!), denn > Ein solcher Widerspruch ist aber
> nicht bekannt.
und hat auch keine Chance bekannt zu werden. Ideologien, und Religionen sind sicherer gebaut als die Alpen (in den Augen ihrer Anh=E4nger jedenfalls). Die Mengenlehre in ihrem Lauf halten weder Ochs noch Esel auf. Gru=DF, WM
On 15 Jan 2006 09:48:27 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Die Mengenlehre in ihrem Lauf halten weder Ochs noch Esel
> auf.
>
Das hast Du aber schön gesagt. Ich musste dabei spontan an WM und EB
denken. :-) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Helmut B=FCch schrieb: > Eigentlich bin ich ein Anh=E4nger der Mengenlehre,
Das kann man, mu=DF man aber nicht sein. Doch von den Orthodoxen wirst Du h=F6ren, da=DF gar nichts anderes vorstellbar ist. > Deshalb finde ich es auch nicht besonders lustig, wie hier einige Leute m=
it
> "Blumschein & Co." zu verfahren sich nicht entbrechen k=F6nnen. Das l=E4=
=DFt mich
> doch
> schon etwas an Ketzerverfolgung denken.
Das liegt daran, da=DF der Glaube an das aktual Unendllche auf =E4u=DFerst schwachen und keinesfalls rational begr=FCndbaren F=FC=DFen steht. Da bleiben nur solche inquisitorischen Ma=DFnahmen. > "Exotische Gew=E4chse" hat es in der
> Geschichte des Denkens wohl schon viele gegeben, denn unser Hirn ist in d=
er
> Lage, auch geschlossene Systeme zu ersinnen, die - in sich
> widerspruchsfrei - mit den Realit=E4ten dieser Welt wenig oder gar nichts=
zu
> tun haben. Die kann man dann weder beweisen noch widerlegen.
Etwa die Behauptung, da=DF das Unendlich als =FCbertreffbare, d.h. abgeschlossene, d.h. endliche Quantit=E4t aktual existiert, aber nat=FCrlich keinesfalls mit den Methoden der endlichen Mathematik kritisierbar ist (ebenso wie man das Universum durchforschen kann, ohne auf Gott und das Erdinnere, ohne auf den Teufel zu sto=DFen). Beispiel: Jede Menge gerader nat=FCrlicher Zahlen enth=E4lt mindestens eine Zahl, die gr=F6=DFer als ihre Kardinalzahl ist, wie etwa |{2, 4, 6}| =3D 3 < 6. Das l=E4=DFt sich zwar per Induktion f=FCr jede Menge aus geraden nat=FCrlichen Zahlen beweisen, gilt aber doch nicht immer. Warum nicht? Weil es ein Gegenbeispiel gibt: Die unendliche Menge aller positiven geraden Zahlen! hach, hach, hach, ... (Amicus w=FCrde Bruhahaha posten). Gru=DF, WM
"WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> schrieb im Newsbeitrag news:1137346808.166533.280340@g43g2000cwa.googlegroups.com... > Beispiel: Jede Menge gerader natürlicher Zahlen enthält mindestens
> eine Zahl, die größer als ihre Kardinalzahl ist, wie etwa |{2, 4, 6}|
> = 3 < 6.
> Das läßt sich zwar per Induktion für jede Menge aus geraden
> natürlichen Zahlen beweisen, gilt aber doch nicht immer. Warum nicht?
Hallo W., die obige Aussage über die Beweisbarkeit per Induktion ist leider *falsch*. Die Menge, über die hier eine Behauptung aufgestellt wird, ist *keine induktive* Menge ( weder besitzt sie ein Element 1 noch einen direkten Nachfolger n+1 für jedes Element n der Menge). Ein (vollständiger) induktiver Beweis ist aber nur über Aussagen A(n), mit n Element einer induktiver Menge, zu führen. Da bist du leider über einen Anfängerfehler gestolpert. ( Es hat wirklich noch keiner geschafft per Induktion die Behauptung "Alle natürlichen Zahlen sind gerade" zu beweisen). Gruß axel > > Weil es ein Gegenbeispiel gibt: Die unendliche Menge aller positiven
> geraden Zahlen! hach, hach, hach, ... (Amicus würde Bruhahaha posten).
>
>Gruß, WM
Am Tue, 17 Jan 2006 21:00:14 +0100 schrieb Axel:
> Die Menge, über die hier eine Behauptung aufgestellt wird,
> ist *keine induktive* Menge ( weder besitzt sie ein Element 1 noch
> einen direkten Nachfolger n+1 für jedes Element n der Menge).
Doch sie ist abgesehen davon das sie endlich ist sehr wohl eine induktive Menge. Sie erfüllt die Peanoaxiome. Es gilt 2~1 und S(n)=2n. Aber welche Kardinalzahl der Zahl 6 der Menge zu kommt ist völlig unklar. Kommt ja darauf an wie diese 6 definiert ist. Ansonsten ist die Behauptung von Mücke entweder trivial oder Stuss. Aber das ist bei WM ja nichts neues. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass menschlicher Dummheit betrachten. (Voltaire)
On 15 Jan 2006 09:40:08 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Jede Menge gerader natürlicher Zahlen enthält mindestens eine Zahl,
> die größer als ihre Kardinalzahl ist, wie etwa |{2, 4, 6}| = 3 < 6.
>
Wie Norbert Marrek schon anmerkte, es muss natürlich heißen:
Jede _endliche_ Menge gerader natürlicher Zahlen enthält mindestens eine Zahl, die größer als die Kardinalzahl dieser Menge ist. Beispielsweise |{2, 4, 6}| = 3 < 6. >
> Das läßt sich zwar per Induktion [...] beweisen, gilt aber doch
> nicht immer. Warum nicht?
>
Weil es eben z. B. für die Menge /aller/ geraden nat. Zahlen nicht
gilt (wie man leicht zeigen kann). Abgesehen davon lässt sich der Satz eben (wie gesagt) auch nicht für /alle/ Mengen gerader natürlicher Zahlen beweisen. Was natürlich sehr wünschenswert ist, denn andernfalls hätten wir es mit einem Wider- spruch zu tun. :-) >
> Amicus würde Bruhahaha posten.
>
Nix Bruhahaha. Einfach nur die Korrektur des für Sie typischen
Unsinns, den Sie üblicherweise zu posten pflegen. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM schrieb:
> Helmut Büch schrieb:
>
>
>
>>Eigentlich bin ich ein Anhänger der Mengenlehre,
>
>
> Das kann man, muß man aber nicht sein. Doch von den Orthodoxen wirst
> Du hören, daß gar nichts anderes vorstellbar ist.
>
>
>>Deshalb finde ich es auch nicht besonders lustig, wie hier einige Leute mit
>>"Blumschein & Co." zu verfahren sich nicht entbrechen können. Das läßt mich
>>doch
>>schon etwas an Ketzerverfolgung denken.
>
>
> Das liegt daran, daß der Glaube an das aktual Unendllche auf äußerst
> schwachen und keinesfalls rational begründbaren Füßen steht. Da
> bleiben nur solche inquisitorischen Maßnahmen.
>
>
>>"Exotische Gewächse" hat es in der
>>Geschichte des Denkens wohl schon viele gegeben, denn unser Hirn ist in der
>>Lage, auch geschlossene Systeme zu ersinnen, die - in sich
>>widerspruchsfrei - mit den Realitäten dieser Welt wenig oder gar nichts zu
>>tun haben. Die kann man dann weder beweisen noch widerlegen.
>
>
> Etwa die Behauptung, daß das Unendlich als übertreffbare, d.h.
> abgeschlossene, d.h. endliche Quantität aktual existiert, aber
> natürlich keinesfalls mit den Methoden der endlichen Mathematik
> kritisierbar ist (ebenso wie man das Universum durchforschen kann, ohne
> auf Gott und das Erdinnere, ohne auf den Teufel zu stoßen).
>
> Beispiel: Jede Menge gerader natürlicher Zahlen enthält mindestens
> eine Zahl, die größer als ihre Kardinalzahl ist, wie etwa |{2, 4, 6}|
> = 3 < 6.
> Das läßt sich zwar per Induktion für jede Menge aus geraden
> natürlichen Zahlen beweisen, gilt aber doch nicht immer. Warum nicht?
>
Also den Induktionsbeweis möchte ich einmal sehen. Er geht nämlich nur für endliche Mengen gerader Zahlen ! Damit ist das folgende Gegenbeispiel ja garkeins. > Weil es ein Gegenbeispiel gibt: Die unendliche Menge aller positiven
> geraden Zahlen! hach, hach, hach, ... (Amicus würde Bruhahaha posten).
>
Aloha, Norbert
albrecht wrote:
> Was zeigt denn dieser Beweis? Das die nat=FCrlichen Zahlen als in einer
> Menge zusammengefasst angesehen werden k=F6nnen? Nein.
> Das sollte doch inzwischen allen klar sein, dass niemand die
> Unendlichkeit der nat=FCrlichen Zahlen anzweifelt. Die Frage ist doch,
> ob es legitim ist, deren Gesamtheit als Menge aufzufassen.
Es faellt mir recht schwer, in ein paar Tausend Postings
herauszufinden, wer nun was genau anzweifelt. Es ist doch voellig egal (zumindest auf dem Niveau, auf dem wir uns hier austoben), ob man von den unendlichen natuerlichen Zahlen oder von einer unendlichen Menge natuerlicher Zahlen spricht. Der Beweis funktioniert genauso gut. Zweifelsohne gibt es eine Menge {0}. Nehmen wir nun an, eine endliche Menge natuerlicher Zahlen sei die Groesste die es gibt. Dann hat sie auch ein groesstes Element. Zaehle 1 dazu, steck es in die Menge, Widerspruch. Ergo gibt es wenigstens eine unendliche Menge natuerlicher Zahlen. Und auf gleiche Weise kann man dann die noch fehlenden natuerlichen Zahlen dazustecken. Die Mengentheoretiker wollen mich sicherlich verhauen, weil ich das so ungehobelt von mir gebe, aber fuer unsere Zwecke wirds reichen. > > Typfehler. Eine Mengen kann unendlich sein, auch wenn die Elemente der
> > Menge begrenzt sind - Beispiel waeren die Bruchzahlen mit Zaehler 1.
> Eben dies halte ich f=FCr ein Argument, das voll nach hinten losgeht.
Ist das so.
> Hast Du Dir Gedanken dar=FCber gemacht, was f=FCr eine Rolle die Null in
> Deinem Beispiel spielt? Wenn unendlich viele Br=FCche mit Z=E4hler 1
> ungleich Null sind, mit welcher Berechigung kann man den Limes dieser
> Folge als Null ansehen?
Verstehe kein Wort. Was hat das damit zu tun, dass die Menge {1/x | x e
IN} unendlich gross, aber begrenzt ist? Nach unten begrenzt wird sie auch durch -1. > Die Null wird ja als das Objekt angesehen, dass die Folge in dem
> fiktiven Fall "unendlich" eben erreicht. Wenn unendlich viele
> Folgeglieder von (1/n) ungleich Null sind, dann m=FCsste man ja die Null
> im "=DCberunendlichen" angesiedelt ansehen.
Keine Ahnung, wovon Du redest.
On 15 Jan 2006 09:15:36 -0800, "hbdere" <hbdere@gmx.net> wrote:
>
> [...] Es ist doch stellig egal [...], ob man von [unendlich vielen]
> natürlichen Zahlen oder von einer unendlichen Menge natürlicher
> Zahlen spricht.
>
Keineswegs. Denn Letzteres wird im allgemeinen als ein /aktual
Unendliches/ Objekt angesehen. Und gewisse Leute haben offenbar Probleme mit der Vorstellung, dass es so etwas "gibt". Im Gegensatz dazu kann man die Folge der natürlichen Zahlen als etwas /potentiell Unendliches/ ansehen. Damit haben die meisten dieser Leute keine Probleme. [...] >
> Zweifelsohne gibt es eine Menge {0}.
>
Wenn es sie denn gibt... ;-)
>
> Nehmen wir nun an, eine endliche Menge natürlicher Zahlen sei die
> Größste die es gibt. Dann hat sie auch ein größtes Element.
> Zähle 1 dazu, steck es in die Menge, Widerspruch. Ergo gibt es
> wenigstens eine unendliche Menge natürlicher Zahlen.
>
Deine Argumentation hängt bei "steck es in die Menge", bekanntlich
operiert man n i c h t so mit Mengen... (Mengen werden in diesem Sinne nicht als "dynamische Objekte" angesehen.) Wohl aber kann man so die /potentielle Unendlichkeit/ der Folge der natürlichen Zahlen beweisen. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere, ad infinitum. (Und natürlich kann man damit zu einer gegebenen Menge natürlicher Zahlen eine größere konstruieren. Aber d a s reicht eben nicht. Aus genau diesem Grund benötigt man in der ZFC ja auch das Unendlichkeits- axiom, welches die Existenz einer unendlichen Menge eben _axiomatisch_ sichert!) >
> [...] aber für unsere Zwecke wirds reichen.
>
Ich fürchte, da irrst Du Dich.
Aber es handelt sich um eine typische /double bind/ Situation. Argumentiert man "intuitiv" (und allgemein verständlich), dann wird die geringste "Lücke", die diese Leute erspähen (und die jeder Fachmann for the sake of the argument einfach ignorieren würde), sofort zu einer riesigen Sache aufgeblasen und gnadenlos darauf herumgeritten. Argumentiert man aber streng formal (d.i. formal korrekt) geben diese Leute vor (falls sie nicht überhaupt einfach "auf Durchzug" schalten), sie könnten der Darstellung nicht folgen, sie wäre zu abstrakt, der Beweis wäre kein Beweis, oder ähnliches... :-( Kurz, man hat es mit komplett vernagelten Leuten zu tun, an denen ohnehin JEDES Argument (ohne irgendwelche sichtbaren Spuren zu hinterlassen) abprallt. In diesem Sinne: have fun! A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Gerade die Feststellung, da=DF es sich bei den Indizes einer Folge um
> ganze nat=FCrliche Zahlen handelt, ist essentiell f=FCr die Erkenntnis,
> da=DF die Menge der Glieder nicht aktual unendlich sein kann.
Tja, wunderbar, wenn man natuerlich ERST behauptet, die Menge der
natuerlichen Zahlen sei endlich oder nicht aktual unendlich oder was auch immer, dann folgt das ganz sicherlich daraus. > > Zahl im Sinne von
> > "natuerlicher Zahl" wird im Diagonalargument AFAIK nicht benoetigt.
> Sie wird zur Numerierung der Ziffern der Diagonalzahl ben=F6tigt.
Ok.
> > Es wird Sie nun vielleicht nicht wundern, dass Mathematik nun eben so
> > nicht funktioniert.
> Die Mathematik funktioniert schon so. Ihre moderne Perversion davon
> m=F6glicherweise nicht.
Jaja, vielleicht sollten Sie noch andere Vokabeln gebrauchen, da gibts
ja recht schoene fuer Dinge, die einem nicht in den Kram passen und die deshalb nicht wahr sein koennen. Und nebenbei: Es ist der gesammelte Zauber der Mathematik, dass man Beweise hat, und nicht aus Indizien ein Bild zusammenbastelt. Das mag in der Experimentalphysik moeglich sein (ich wills den Physikern wahrlich nicht unterstellen, und mich fuer etwaige Verstimmungen (bei Franziska) entschuldigen), aber in der Mathematik war das spaetestens seit den alten Griechen nicht erlaubt. > < Sie koennen eben nicht einfach aus dem Endlichen
> > aufs Unendliche schliessen.
> Just darum kann ja Cantors Diagonalargument auch nicht funktionieren.
Nein, das kann nur dann nicht funktionieren, wenn man das Unendliche
als solches ablehnt. Tun Sie das. Aber Sie muessen das dann in die Praemisse schreiben. Darueberhinaus wird beim 2. Diagonalargument nicht vom Endlichen aufs Unendliche geschlossen, sondern von Anfang weg im Unendlichen argumentiert. > Nein, denn er widerlegt meine Sichtweise nicht. Ich behaupte nicht,
> da=DF die Menge der nat=FCrlichen Zahlen endlich sei, sondern ich
> behaupte, da=DF sie nicht aktual unendlich sei. Das ist ein Unterschied.
Koennten Sie fuer mich hinschreiben, wo der Unterschied liegt?
> Betrachten Sie nur den oberen Teil des Baumes bis zur zweiten Ebene:
> 0
> /\
> 0 1
> /\ /\
> 0101
> ...
>
> Dort gibt es 6 Kanten und 4 Pfadb=FCndel.
> Bis zur Ebene n gibt es 2^(n+1) - 2 Kanten und 2^n Pfadb=FCndel. Die
> Folge "Kantenzahl geteilt Pfadb=FCndelzahl bis zur Ebene n" konvergiert
> demnach f=FCr n --> oo gegen den Grenzwert 2. Das gilt f=FCr alle
> Pfadb=FCndel, auch solche, die nur einen einzigen Pfad enthalten.
> Letztere entsprechen einzelnen reellen Zahlen. Deren Abz=E4hlbarkeit
> folgt aus der unstrittigen Abz=E4hlbarkeit der Kanten.
Na das waere aber fein wenn die unstrittig waere. Warum dann den ganzen
Umweg ueber die Pfadbuendel? Ein unendlicher binaerer Baum reicht doch schon um jede reelle Zahl in [0..1) darzustellen (als einen seiner Knoten). Oder auch die Potenzmenge von IN: Im ersten Level wird entschieden, ob die 1 in der Menge ist, im zweiten Level, ob die 2 usw. Zwar kriegt man dabei eine Menge Duplikate, aber die machen die Menge der Knoten nun auch nicht kleiner. Seh ich das falsch? Wenn nun die Kanten abzaehlbar sind, dann sicher auch die Knoten (ist ja nur einer mehr). > Das einzig m=F6gliche Gegenargument besteht darin, da=DF der Baum trotz
> seiner abz=E4hlbar-unendlich vielen Ebenen keine Pfade enth=E4lt, die
> eine irrationale Zahl vollst=E4ndig, d.h. mit allen Bin=E4rziffern,
> darstellen.
Nein, das sehe ich nicht als Gegenargument. Aber "einzig moegliche" zu
schreiben, ist taktisch ungeschickt. Natuerlich gibt es sehr viel mehr Gegenargumente, gute wie schlechte. Meines waere erst einmal der fehlende Nachweis der Abzaehlbarkeit der Knoten/Kanten. > > Aber die Menge der Pfade in dem Baum ist ueberabzaehlbar.
> Nein, auch nicht mit "aber".
Der Worte sind genug gewechselt, lasst uns nun endlich Taten sehn ;-)
Amicus schrieb: > On 16 Jan 2006 07:38:31 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> wrote:
>
> >
> > Wie dies geschieht, habe ich demonstriert.
> >
> In Deiner Phantasie vielleicht. H i e r jedoch wurde mehrfach
> nachgewiesen, dass Du nicht d a s demonstriert hast, was Du
> behauptest (oder m=F6glicherweise glaubst) demonstriert zu haben.
Ein schlauer Fuchs ist er ja, unser Amicus. Gru=DF, WM
Peter Niessen wrote:
> Am 14 Jan 2006 13:34:29 -0800 schrieb albrecht:
>
> > Eben dies halte ich f=FCr ein Argument, das voll nach hinten losgeht.
> > Hast Du Dir Gedanken dar=FCber gemacht, was f=FCr eine Rolle die Null in
> > Deinem Beispiel spielt? Wenn unendlich viele Br=FCche mit Z=E4hler 1
> > ungleich Null sind, mit welcher Berechigung kann man den Limes dieser
> > Folge als Null ansehen?
> > Die Null wird ja als das Objekt angesehen, dass die Folge in dem
> > fiktiven Fall "unendlich" eben erreicht. Wenn unendlich viele
> > Folgeglieder von (1/n) ungleich Null sind, dann m=FCsste man ja die Null
> > im "=DCberunendlichen" angesiedelt ansehen.
> >
> > Der Limes der Folge 1/n mit n e |N und n -> oo gleich 0 besagt eben,
> > dass bei einem fiktiven erreichen von unendlichem n der Wert von 1/n
> > als Null angesehen wird.
> > Obwohl die Folge unendlich viele Werte enth=E4lt, ist keiner Null. Wenn
> > n einen fiktiven unendlichen Wert erreicht, ist 1/n =3D 0.
> > Wievielerlei Unendlichkeiten stecken denn da eigentlich drin?
> > Ich finde zwei: Man k=F6nnte sie aktual und potentiell nennen.
>
> Du machst einen Denkfehler:
> F=FCr die Folge 1/n gilt:
> 1. Sie ist begrenzt
> 2. Die Grenzen sind 0 und 1
> 3. 0 ist die gr=F6=DFte untere Grenze der Folge aber nicht Element der Fo=
lge.
> Aber: Es gibt kein e > 0 das kleiner als jedes Folgeglied ist. Der Limes
> ist als das einzige kleinste/gr=F6=DFte Element definiert so das in jeder
> Umgebung Limes +-e stets unendlich viele Elemente der Folge liegen.
> Beachte: hier ist 1 eine Grenze und Element der Folge aber kein Limes.
> Deshalb darf ich die Folge 1/n (und jede andere mit der gleichen
> Eigenschaft) als Repr=E4sentanten der 0 ansehen egal ob die 0 Element der
> Folge ist oder nicht. F=FCr konvergente Folgen gelten die normalen
> Rechenregeln. Sprich man darf sie ungestraft addieren und multiplizieren.
> lim(a)+lim(b)=3Dlim(a+b) usw.
> Und das ist der "Trick":
> Die Folgen werden so zu einem Modell der rellen Zahlen wobei f=FCr die
> Elemente der Folgen schon reicht wenn sie Element Q sind, also eine
> wirklich nette Eigenschaft.
> Mit der Bemerkung das man aus n->n+1 nicht folgern kann das die Gesamtheit
> eine konsistente Menge ist hast du wohl recht. Dieser Punkt ist nat=FCrli=
ch
> notwendig damit 1/n Rep=E4sentant der 0 sein kann. Aber ausser f=FCr M=FC=
ckenheim
> sind diese Axiome so selbstverst=E4ndlich das man nicht dar=FCber nachden=
kt.
> Sehe es dem Poster also nach.
> --
> Mit freundlichen Gr=FC=DFen
> Peter Nie=DFen
>
> Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass
> menschlicher Dummheit betrachten.
> (Voltaire)
Wahrscheinlich stand an Deinen Aufs=E4tzen in der Mittelschule auch immer dran: Thema verfehlt. Und wenn die Ausf=FChrungen dann sogar noch falsch sind ... .:-( Gru=DF AS
Markus Sigg schrieb: > Diese Klassifizierung ist unvollst=E4ndig. Ich kann mir schlie=DFlich
> eine andere Welt denken, in der andere Gegenst=E4nde real oder realisierb=
ar
> sind als in unserer.
Zum Realisieren bedarf es einer realen Welt, keiner gedachten. > Ich kann mir z.B. eine Welt vorstellen, die rein
> euklidisch und in alle Richtungen unendlich und mit Himmelsk=F6rpern bese=
tzt
> ist. Diese Welt enth=E4lt also unendlich viele Objekte. Tats=E4chlich kan=
n ich
> mir so eine Welt sogar leichter vorstellen, als unsere (vermutlich) endli=
che
> Welt mit ihrem merkw=FCrdigen, schwer vorstellbaren Rand.
Letzte Messungen lassen doch wieder eine flache, euklidsche Welt wahrscheinlich werden. Aber das ist alles noch sehr unsicher. Unabh=E4ngig davon ist das uns zug=E4ngliche Universum mit manipulierbaren Speicherbits beschr=E4nkt und wird es immer bleiben. > Ich glaube, da=DF
> auch der nicht mathematisch oder naturwissenschaftlich gebildete Mann von
> der Stra=DFe sich eine unendliche Welt leichter vorstellen kann als eine,
> die den derzeitigen physikalischen Theorien gen=FCgt.
>
> Und falls jemand einwirft, da=DF so eine Welt physikalisch vielleicht nic=
ht
> stabil sei: Nat=FCrlich kann ich mir auch physikalische Gesetze ausdenken,
> die so eine Welt stabil halten.
Damit ist die Welt aber immer noch nicht real. Entscheidend ist doch folgendes: Hilft Dir die vorgestellte Welt, zu entscheiden, ob die Zahl P/P' kleiner oder gleich oder gr=F6=DFer als 1 ist? (P: nat=FCrliche Zahl aus den ersten 10^10 Stellen von Pi, P': die letzte Stelle von P durch 5 ersetzt.) Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>Diese Klassifizierung ist unvollständig. Ich kann mir schließlich
>>eine andere Welt denken, in der andere Gegenstände real oder realisierbar
>>sind als in unserer.
>
>
> Zum Realisieren bedarf es einer realen Welt, keiner gedachten.
Ja, aber für mich ist es noch ein Unterschied, ob etwas in dieser Welt realisiert werden kann oder nur in einer hypothetischen Welt. Gute Mathematik sollte beides beschreiben können. >>Ich kann mir z.B. eine Welt vorstellen, die rein
>>euklidisch und in alle Richtungen unendlich und mit Himmelskörpern besetzt
>>ist. Diese Welt enthält also unendlich viele Objekte. Tatsächlich kann ich
>>mir so eine Welt sogar leichter vorstellen, als unsere (vermutlich) endliche
>>Welt mit ihrem merkwürdigen, schwer vorstellbaren Rand.
>
>
>
> Letzte Messungen lassen doch wieder eine flache, euklidsche Welt
> wahrscheinlich werden. Aber das ist alles noch sehr unsicher.
> Unabhängig davon ist das uns zugängliche Universum mit
> manipulierbaren Speicherbits beschränkt und wird es immer bleiben.
Nochmal: Ich kann mir eine Welt vorstellen, die anders aufgebaut ist, und finde es gut, daß die Mathematik auch dafür taugt. Sie müßten Ihre merkwürdige Mathematik (von der Sie nirgends eine schlüssige Darstellung gegeben haben) ändern, wenn die Physiker morgen bekanntgeben, daß es keine kleinsten Teile gibt, sondern alles immer weiter zerlegt werden kann. >>Ich glaube, daß
>>auch der nicht mathematisch oder naturwissenschaftlich gebildete Mann von
>>der Straße sich eine unendliche Welt leichter vorstellen kann als eine,
>>die den derzeitigen physikalischen Theorien genügt.
>>
>>Und falls jemand einwirft, daß so eine Welt physikalisch vielleicht nicht
>>stabil sei: Natürlich kann ich mir auch physikalische Gesetze ausdenken,
>>die so eine Welt stabil halten.
>
>
> Damit ist die Welt aber immer noch nicht real. Entscheidend ist doch
> folgendes: Hilft Dir die vorgestellte Welt, zu entscheiden, ob die Zahl
> P/P' kleiner oder gleich oder größer als 1 ist? (P: natürliche Zahl
> aus den ersten 10^10 Stellen von Pi, P': die letzte Stelle von P durch
> 5 ersetzt.)
Ich bin guter Hoffnung, daß man Verfahren entwickeln kann und wird, die diese Frage beantwortbar machen. Aber entscheidend ist diese Frage ohnehin nicht, was auch immer Sie damit meinen. Gruß, Markus Sigg
hbdere schrieb: > Das muessen Sie mir erklaeren. Das ist mir naemlich gar nicht
> einsichtig. Aber wenn Sie es mir erklaeren, dann versuchen Sie doch zur
> Abwechslung mal, es typkorrekt zu machen.
Gerade die Feststellung, da=DF es sich bei den Indizes einer Folge um ganze nat=FCrliche Zahlen handelt, ist essentiell f=FCr die Erkenntnis, da=DF die Menge der Glieder nicht aktual unendlich sein kann. Ich verwechsle das nicht. Wenn ich mal von ganzen oder nat=FCrlichen Zahlen spreche, ohne das Adjektiv hinzuzusetzen, dann nur, weil kein Mi=DFverst=E4ndnis m=F6glich ist. > Zahl im Sinne von
> "natuerlicher Zahl" wird im Diagonalargument AFAIK nicht benoetigt.
Sie wird zur Numerierung der Ziffern der Diagonalzahl ben=F6tigt. > Was
> heisst eigentlich "Zahlcharakter"?
Unterscheidbarkeit aufgrund der Trichotomie. > Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik. Man
> schaut sich etwas an, spielt mit den Parametern und schliesst auf die
> Zusammenhaenge.
> Es wird Sie nun vielleicht nicht wundern, dass Mathematik nun eben so
> nicht funktioniert.
Die Mathematik funktioniert schon so. Ihre moderne Perversion davon m=F6glicherweise nicht. < Sie koennen eben nicht einfach aus dem Endlichen > aufs Unendliche schliessen.
Just darum kann ja Cantors Diagonalargument auch nicht funktionieren. Jedes Element, jede Diagonalziffer also, steht an einer endlichen (durch eine nat=FCrliche Zahl numerierten) Stelle. Die ganze Diagonalzahl soll aber unendlich viele Stellen haben. Nun gilt aber in der Mathematik, sogar in dem, was Sie darunter verstehen: omega *1 =3D 1*omega =3D omega. Omega nat=FCrliche Zahlen passen nicht in ein endliches Intervall. > Beispiele dafuer hab ich ja schon gebracht,
> wie ueblich wurden sie ignoriert.
Aber nein. Ich stimme Ihnen ja voll zu. Man kann =FCberhaupt nicht auf aktual Unendliches schlie=DFen, schon deswegen, weil es nicht existiert. >Ebenso wie der klassische Einwand,
> dass eine endliche Menge aller natuerlicher Zahlen eine groesste Zahl
> haben muesste, und da man zu der 1 dazuzaehlen koennte, gaebe es eine
> Groessere, Widerspruch, und damit ist die Menge der natuerlichen Zahlen
> unendlich.
> Ficht Sie nicht an, dass dieser simpelste aller Beweise Ihre Sichtweise
> widerlegt?
Nein, denn er widerlegt meine Sichtweise nicht. Ich behaupte nicht, da=DF die Menge der nat=FCrlichen Zahlen endlich sei, sondern ich behaupte, da=DF sie nicht aktual unendlich sei. Das ist ein Unterschied. > Nebenbei bemerkt, Ihre Ansicht ist auch schon deshalb fragwuerdig, weil
> man Unendlichkeiten nicht einfach uebertragen kann - der besagte
> Typfehler. Eine Mengen kann unendlich sein, auch wenn die Elemente der
> Menge begrenzt sind - Beispiel waeren die Bruchzahlen mit Zaehler 1.
Die harmonische Folge ist ein alter Hut. Cantor selbst hat just diese Stammbr=FCche als Beispiel f=FCr eine unendliche Zahlenfolge mit oberer Schranke herangezogen, um sein 1, 2, 3, ..., omega zu rechtfertigen. Die Analogie ist aber keine, der besagte Typfehler. Der Beweis daf=FCr, da=DF die Menge der nat=FCrlichen Zahlen nicht aktual unendlich ist, basiert auf dem Abstand 1 zweier benachbarter nat=FCrlicher Zahlen. > Eine endliche Menge kann unendlich grosse Elemente enthalten - z.B. die
> Menge aller Folgen, die nur aus a bestehen (oder auch {IN}) - wobei
> auch hier erst einmal zu klaeren waere, was "Groesse" ueberhaupt ist.
> Dass die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich ist, aber nur endliche
> Elemente enthaelt, ist insofern voellig natuerlich und verwundert
> eigentlich auf Dauer nur den, der davon verwundert werden will.
> Ja, bis auf den letzten Satz, den ich einfach nicht versteh, ist das in
> Ordnung.
Die Menge der Kanten ist gr=F6=DFer als die der Pfade und abz=E4hlbar. Betrachten Sie nur den oberen Teil des Baumes bis zur zweiten Ebene: 0 /\ 0 1 /\ /\ 0101 .=2E. Dort gibt es 6 Kanten und 4 Pfadb=FCndel. Bis zur Ebene n gibt es 2^(n+1) - 2 Kanten und 2^n Pfadb=FCndel. Die Folge "Kantenzahl geteilt Pfadb=FCndelzahl bis zur Ebene n" konvergiert demnach f=FCr n --> oo gegen den Grenzwert 2. Das gilt f=FCr alle Pfadb=FCndel, auch solche, die nur einen einzigen Pfad enthalten. Letztere entsprechen einzelnen reellen Zahlen. Deren Abz=E4hlbarkeit folgt aus der unstrittigen Abz=E4hlbarkeit der Kanten. Das einzig m=F6gliche Gegenargument besteht darin, da=DF der Baum trotz seiner abz=E4hlbar-unendlich vielen Ebenen keine Pfade enth=E4lt, die eine irrationale Zahl vollst=E4ndig, d.h. mit allen Bin=E4rziffern, darstellen. Dieses Gegenargument trifft dann allerdings auch Cantors Diagonalzahl. Cantors Diagonalzahl kann dann auch nicht vollst=E4ndig, mit allen Ziffern vorhanden sein. Und folglich ist nicht feststellbar, ob sie sich von allen Zahlen der abz=E4hlbar-unendlichen Cantor-Liste unterscheidet. Es wird also mit zweierlei Ma=DF gemessen. Aber ob nun Einzelpfade im Baum existieren oder nicht: Alle Pfadb=FCndel, *die existieren*, und damit alle reellen Zahlen, die in [0,1] existieren, sind in einer abz=E4hlbaren Menge enthalten. Und Zahlen, die nicht existieren, m=F6chte ich auch gar nicht z=E4hlen. > Aber die Menge der Pfade in dem Baum ist ueberabzaehlbar.
Nein, auch nicht mit "aber". > Gehe ich recht in der Annahme, dass Sie noch nie einen mathematischen
> Beweis gefuehrt haben?
Sie gehen fehl. > Ich meine, selbst und ausserhalb einer Uebung?
> In einer Publikation oder vergleichbarem?
So ist es. Gru=DF, WM
WM wrote:
> > Einfach zu sagen "das ist wie bei Cantor" funktioniert nicht - da
> > stehen ihnen die Quantoren im Wege.
> Cantor stehen sie genau so im Wege, da es ja eine Stelle gibt, in der
> sich eine reelle Zahl von allen anderen unterscheidet. Auch nicht f=FCr
> die Diagonalzahl.
Sie quantifizieren mal wieder falsch. An welcher Stelle unterscheidet
sich denn 0.1 von allen anderen reellen Zahlen? > > die nicht enthalten ist. Sie muessten nachweisen, dass ALLE reellen
> > Zahlen gemeinsam in einer abzaehlbaren Liste aufzufinden sind.
> Nein, denn das ist ja nach Cantor nicht m=F6glich. Der Baum ist zwar
> listig, aber keine Liste. Es geht nur um die M=E4chtigkeit der
> Pfadmenge, nicht darum, sie in eine Liste einzutragen.
Und Sie halten mir Vortraege ueber Abzaehlbarkeit. Prost.
> Sie geben mir die Ziffern der Irrationalzahl, und ich kann Ihnen sagen,
> in welchem Pfadb=FCndel sie steckt.
Das kann ich selbst: In entweder dem linken oder rechten Pfadbuendel,
das aus der Wurzel herauskommt. Nur was beweist das jetzt? > Nun sagen Sie, es gibt ja =FCberhaupt keine Pfade.
Tu ich das? Vermutlich, wenn man eine hinreichend verquere Semantik von
"gibt" zugrunde legt. Natuerlich gibt es Pfade. Sie werden nur nie (alle) eindeutig Kanten zugeordnet. Was Ihnen seit Monaten jeder sagt. > Es gibt =FCberhaupt
> keine irrationalen Zahlen, aber davon gibt es jedenfalls mehr. Ja, eben
> dieser nicht unelegante Trick hat der Mengenlehre zum Sieg verholfen,
> und er l=E4=DFt eine Widerlegung kaum zu: das, was in =FCbergro=DFer F=FC=
lle
> vorhanden sein soll, ist =FCberhaupt nicht anwesend - und damit auch
> nicht widerlegbar.
Jaja.
WM schrieb: Typo: > Cantor stehen sie genau so im Wege, da es ja *k*eine Stelle gibt, in der
> sich eine reelle Zahl von allen anderen unterscheidet. Auch nicht f=FCr
> die Diagonalzahl.
Gru=DF, WM
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > Das ist doch derselbe Fall wie bei Cantor. Eine mit nat=FCrlichen Zahlen
> > numerierte Liste wird niemals enden. Trotzdem akzepiert jeder (fast
> > jeder), da=DF man die Diagonalziffer *jeder* Listenzahl =E4ndern kann.
> Das ist doch der springende Punkt. Es ist ueberhaupt nicht notwendig,
> in Cantors Beweis die unendliche Diagonale konkret anzugeben.
Es ist =FCberhaupt nicht notwendig, den unendlichen Pfad konkret anzugeben. > Wichtig
> ist, dass man fuer jede der Zahlen in der Liste sicher sein kann, dass
> sich die Diagonalzahl an wenigstens einer Stelle von ihr unterscheidet.
> Damit wird ja nur gezeigt, dass es eben NICHT geht, die reellen Zahlen
> abzuzaehlen.
Wichtig ist, da=DF man f=FCr jeden Pfad sicher sein kann, da=DF er zu einem Pfadb=FCndel geh=F6rt und da=DF dies in einer Ebene niemals ohne eine eigenen Kante zu durchlaufen, vom Rest abzweigt. > Sie hingegen versuchen, einen konstruktiven Abzaehlbeweis zu fuehren.
Nein ich bemerke lediglich, da=DF kein Pfadb=FCndel ohne eigene Kante abzweigt. > Dazu muessten Sie in irgendeiner Form auch noch mitteilen, wie Sie mit
> der Tatsache, dass es mehr Pfade als Kanten gibt, umgehen wollen.
Ach ja, die "Tatsachen". Hart sto=DFen sich im Raum die Sachen ... (Cantor tut nichts mit seiner Liste, also entspringen daraus auch keine Tatsachen.) Es geht hier nicht um die Einarbeitung von Tatsachen, sondern um deren Pr=FCfung durch ein unabh=E4ngiges Gutachten. > Einfach zu sagen "das ist wie bei Cantor" funktioniert nicht - da
> stehen ihnen die Quantoren im Wege.
Cantor stehen sie genau so im Wege, da es ja eine Stelle gibt, in der sich eine reelle Zahl von allen anderen unterscheidet. Auch nicht f=FCr die Diagonalzahl. > Cantor fuer den Nachweis, da=DF es
> fuer jede abzaehlbare Liste von reellen Zahlen EINE reelle Zahl gibt,
> die nicht enthalten ist. Sie muessten nachweisen, dass ALLE reellen
> Zahlen gemeinsam in einer abzaehlbaren Liste aufzufinden sind.
Nein, denn das ist ja nach Cantor nicht m=F6glich. Der Baum ist zwar listig, aber keine Liste. Es geht nur um die M=E4chtigkeit der Pfadmenge, nicht darum, sie in eine Liste einzutragen. >
> > Wenn also *jede* Ziffer der Diagonalzahl in der Liste ist, dann ist
> > auch jedes Ziffern=E4quivalent im Baum. Das bedeutet, der Baum enth=E4lt
> > die vollst=E4ndigen Pfade. Ihre obige Aussage ist =E4quivalent zu der
> > Behauptung, da=DF Cantors Liste niemals zu Ende w=E4re und damit die
> > Diagonalzahl niemals vollst=E4ndig als von allen anderen Eintr=E4gen
> > verschieden befunden werden k=F6nnte.
> Cantors Liste ist nie zu Ende. Das waere ja eine traurige Form von
> Abzaehlbarkeit. Hingegen ist die Diagonalzahl von jedem Eintrag
> verschieden. Sie geben mir die Nummer des Eintrags, an dem sie gleich
> sein soll, und dann kann ich Ihnen sagen, warum sie dort ungleich ist.
Sie geben mir die Ziffern der Irrationalzahl, und ich kann Ihnen sagen, in welchem Pfadb=FCndel sie steckt. > Und mehr braucht es nicht.
Genau. Alle angebbaren Ziffern finden sich als Knoten im Baum. Alle. > Dass ist das Wesen des Widerspruchsbeweises: Aus dem klassischen
> Beweis, dass es keine groesste Primzahl gibt, folgt noch kein
> Primzahlalgorithmus. Es steht Ihnen frei, diese Beweistechnik
> abzulehnen.
Aber weit entfernt bin ich davon. *Das ist doch gerade das Fundament meines Beweises.* Aus dem Nachweis, da=DF es mehr Kanten als Pfade gibt, folgt noch kein Algorithmus, der eine eindeutige Abildung der Kanten auf die Pfade liefert. Ich zeige lediglich, da=DF die Gegenteilige Annahme zum Widerspruch f=FChrt, weil sich kein Pfad ohne eigene Kante vom Rest absetzen kann. Nun sagen Sie, es gibt ja =FCberhaupt keine Pfade. Es gibt =FCberhaupt keine irrationalen Zahlen, aber davon gibt es jedenfalls mehr. Ja, eben dieser nicht unelegante Trick hat der Mengenlehre zum Sieg verholfen, und er l=E4=DFt eine Widerlegung kaum zu: das, was in =FCbergro=DFer F=FClle vorhanden sein soll, ist =FCberhaupt nicht anwesend - und damit auch nicht widerlegbar. Gru=DF, WM
Franziska Neugebauer schrieb: Liebe Franzisa, > >
> Wie gehen Sie eigentlich in Ihrem Unterricht mit mathematischen
> Gegenst=E4nden um, die Ihrer Ansicht nach nicht existieren oder sogar
> nicht existenzf=E4hig sind? Offenbaren Sie Ihren Studenten Ihr
> physikalistisches Bekenntnis?
>
> Wie muss ich mir konkret Ihren Unterricht vorstellen, wenn Sie mit
> Gegenst=E4nden wie Grenzwerten, der Menge der nat=FCrlichen Zahlen, pi
> usw. operieren?
Sie w=FCrden =FCberhaupt nichts Anst=F6=DFiges bemerken. Ich spreche von reellen Zahlen, sogar von Irrational*zahlen* und der *Zahl* pi, denn eine Ingenieurin und auch die Mathematikerin auf der Stra=DFe interessiert es nicht im mindesten, ob die Ziffernfolge nach der 10^50 sten noch stimmt. Sie hat es nie gepr=FCft und wird es nie pr=FCfen. Das interessiert nur die Mengenlehrerin, damit sie ihre =FCberabz=E4hlbare Menge |R zusammenklauben kann. Wenn es der Zusammenhang mit sich bringt, erw=E4hne ich zuweilen auch mal eine transzendente Zahl und lasse vielleicht die Bemerkung fallen, da=DF es nach allgemein verbreiteter Ansicht mehr transzendente als algebraische Zahlen g=E4be (vielleicht sage ich sogar "gibt"). Das gilt nat=FCrlich nur f=FCr die Analysis. Gru=DF, WM
Markus Sigg schrieb: > Ich wei=DF nicht, wie sie "wesentlich" definieren.
Die Zahlen sind wesentlich, die reellen und insbesondere die ganzen. > >>>Sie konzedieren, da=DF FOPL die nat=FCrlichen Zahlen nicht eindeutig
> >>>fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten
> >>>FOPL sogar f=FCr "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn
> >>
> >>Nein, das will ich nicht. Wie kommen Sie denn darauf?
> >
> >
> > Es schien mir so. Was verwenden Sie denn?
>
> Wie meinen Sie das?
Ich m=F6chte wissen, woher Sie die nat=FCrlichen Zahlen kennen, wenn PA-FOPL dazu nicht ausreicht. Was verwenden Sie sonst noch als Kriterum, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine nat=FCrliche Zahl ist, oder nicht? > >
> Es gibt kein Lieblingsmodell? Das ist ja furchtbar.
>
> Ach, jetzt verstehe ich. Es geht Ihnen gar nicht um ein "Lieblings"modell
> und nicht um die Menge der nat=FCrlichen Zahlen. Es geht Ihnen um den Sac=
hverhalt,
> da=DF der K=F6rper der reellen Zahlen nicht =FCber FOPL vollst=E4ndig cha=
rakterisiert
> werden kann. (Da die Sprache der Arithmetik nur abz=E4hlbare viele S=E4tze
> bilden kann und somit nach L=F6wenheim/Skolem f=FCr jede Satzmenge ein ab=
z=E4hlbares
> und damit nicht zu IR isomorphes Modell existiert.) Ich glaube gerne, da=
=DF Ihnen
> dieses sch=F6ne Ergebnis nicht gef=E4llt, denn es zeigt, da=DF Ihre priva=
te
> Lieblingsmodellsammelei ganz und gar aussichtlos ist.
Just aus diesem Grunde gef=E4llt es mir hervorragend. Und die leere Menge bleibt ihm immer leer (zu singen nach dem letzten St=FCck "Der Leiermann" aus Schuberts Winterreise). Gru=DF, WM
WM wrote:
> Ich möchte wissen, woher Sie die natürlichen Zahlen kennen, wenn
> PA-FOPL dazu nicht ausreicht. Was verwenden Sie sonst noch als
> Kriterum, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine natürliche Zahl ist,
> oder nicht?
Das kommt auf die Aufgabenstellung an. >>Ach, jetzt verstehe ich. Es geht Ihnen gar nicht um ein "Lieblings"modell
>>und nicht um die Menge der natürlichen Zahlen. Es geht Ihnen um den Sachverhalt,
>>daß der Körper der reellen Zahlen nicht über FOPL vollständig charakterisiert
>>werden kann. (Da die Sprache der Arithmetik nur abzählbare viele Sätze
>>bilden kann und somit nach Löwenheim/Skolem für jede Satzmenge ein abzählbares
>>und damit nicht zu IR isomorphes Modell existiert.) Ich glaube gerne, daß Ihnen
>>dieses schöne Ergebnis nicht gefällt, denn es zeigt, daß Ihre private
>>Lieblingsmodellsammelei ganz und gar aussichtlos ist.
>
>
> Just aus diesem Grunde gefällt es mir hervorragend. Und die leere
> Menge bleibt ihm immer leer (zu singen nach dem letzten Stück "Der
> Leiermann" aus Schuberts Winterreise).
Also sind wir uns an dieser Stelle einig. Ich verstehe dann aber nicht, weshalb Sie hier nach Dingen fragen, von denen bekannt ist, daß es sie nicht gibt. Wie sieht Ihre Alternativlogik aus? In welcher Sprache ist sie formuliert? Gruß, Markus Sigg
Amicus schrieb: > > Der Versuch war nicht mi=DFlungen. Vielleicht waren die Abk=FCrzung etw=
as
> > zu kurz. Jeder sollte aber verstanden haben, da=DF unter M nur solche
> > Mengen gemeint sind, die (1) und (2) erf=FCllen.
> >
> Nein, Herr M=FCckenheim, s o l=E4uft das nicht. In der Mathematik l=E4uft
> das so: W e n n unter M nur solche Mengen gemeint sind, die (1) und
> (2) erf=FCllen, d a n n schreibt man das auch so hin.
Wenn man M definiert und dann eine andere Menge meint, dann schreibt man das auch hin. Es ist verwerflich, in einer Zeile n e |N zu setzen und in der n=E4chsten Zeile n aus der Menge der Ostereier zu rekrutieren. Ob man sich nun Logiker nennt oder nicht. > >
> Immer langsam mit den Pferden, M=FCckenheim. Formalisieren Sie
> das erst einmal!
Dazu ben=F6tigt man das Aussonderungsaxiom. Ich will hier aber kein ZFC voraussetzen, sondern GMV. Und der (=FCbrigens maskulin) erkennt, was mit "Durchschnitt" gemeint ist. Anderenfalls nenne ich das die schm=E4chtigste Menge. Das ist ein in GMV wohldefiniertes Pr=E4dikat. > > Und um die Axiome zu verstehen,
> >
> HALT - es handelt sich hier nicht um Axiome!
Doch. Damit habe ich drei AXIOME aus denen alle nat=FCrlichen Zahlen entquellen. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 07:55:29 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Doch. Damit habe ich drei AXIOME aus denen alle natürlichen Zahlen
> entquellen.
>
Also m i r scheint eher, dass aus Ihrem "Denkorgan" statt mathematisch
korrekter (oder auch nur akzeptabler) Äußerungen lediglich heiße Fürze entquellen. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Norbert Marrek schrieb: > Dann mach ich mir mein Universum wieder gr=F6=DFer.
> Und wenn Du dann die 10^1000 Stelle nimmst, mach ich
> es wieder gr=F6=DFer usw. usw. usw.
Als Nietzsche wieder einmal sein "Gott ist tot verk=FCndete", t=F6nte es aus der Nachbarzelle: "L=FCgner! Ich lebe noch." Erinnerst Du Dich? Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Norbert Marrek schrieb:
>
>
>
>>Dann mach ich mir mein Universum wieder größer.
>>Und wenn Du dann die 10^1000 Stelle nimmst, mach ich
>>es wieder größer usw. usw. usw.
>
>
> Als Nietzsche wieder einmal sein "Gott ist tot verkündete", tönte es
> aus der Nachbarzelle: "Lügner! Ich lebe noch." Erinnerst Du Dich?
>
> Gruß, WM
>
Nicht dass ich wüsste, nicht wahr WM=Widersprechender Mephistopheles. http://de.wikipedia.org/wiki/Mephistopheles : : Ich bin der Geist, der stets verneint! Und das mit Recht; denn alles, : was entsteht, ist wert, daß es zugrunde geht. Drum besser wär's, wenn : nichts entstünde. So ist denn alles, was ihr Sünde, Zerstörung, kurz, : das Böse nennt, mein eigentliches Element. : Er verkörpert die materialistische Einstellung zu den Dingen und : begreift daher auch nicht, was Faust in Wahrheit antreibt und zweifeln : lässt. Aber warum sollte es eines Gottes brauchen, um ein Universum zu vergrößern? Jeder Mensch ist von Geburt dazu in der Lage. Deine materialistische Einstellung kann nur zu Widersprüchen führen, denn wie willst Du schon nur etwas so winziges wie einen Apfel wahrnehmen, der mehr als 10^23 Atome besitzt, wenn Du nur weniger als diese Anzahl Neuronen besitzt und Du Dein Universum nicht erweitern kannst? Manchmal steckt eben in einem beschränkten Körper auch ein beschränkter Geist. Schade für Dich. Aloha, Norbert
On 2006-01-15, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
>
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>> Ich weiß nicht, wie sie "wesentlich" definieren.
>
> Die Zahlen sind wesentlich, die reellen und insbesondere die ganzen.
>
>> >>>Sie konzedieren, daß FOPL die natürlichen Zahlen nicht eindeutig
>> >>>fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten
>> >>>FOPL sogar für "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn
>> >>
>> >>Nein, das will ich nicht. Wie kommen Sie denn darauf?
>> >
>> >
>> > Es schien mir so. Was verwenden Sie denn?
>>
>> Wie meinen Sie das?
>
> Ich möchte wissen, woher Sie die natürlichen Zahlen kennen, wenn
> PA-FOPL dazu nicht ausreicht. Was verwenden Sie sonst noch als
> Kriterum, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine natürliche Zahl ist,
> oder nicht?
Die Bedeutung von "zu entscheiden, ob eine Zahl eine natürliche Zahl ist" ist mir nicht klar. Vor allem, weil man dazu zunächst wissen müsste, was eine Zahl ist. PA redet auch über nichts anderes als natürliche Zahlen, daher ist die Frage in diesem Zusammenhang völlig bedeutungslos. Die Frage ist, welche Aussagen über natürliche Zahlen wahr sind. Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
hbdere wrote: Dazu habe ich einiges anzumerken. > WM wrote:
> > > Hier ist es nur noch voellig sinnfreies
> > > Schwadronieren. Wen auf der weiten Welt interessiert es denn nur fuer
> > > fuenf Pfennig, ob "oo" nun als "Zahl" oder als "Quantitaet" gemeint
> > > ist?
> > Es hat Cantor sein ganzes Leben lang interessiert. Mit Ihrer
> > Einstellung h=E4tte er sich gleich von der Mathematik zur=FCckgezogen.
> > Und es interessiert noch immer jeden, der sein wundersch=F6nes
> > Diagonalargument von 1890 nachvollziehen m=F6chte. Da wird der
> > Zahlcharakter n=E4mlich ben=F6tigt.
> Das muessen Sie mir erklaeren. Das ist mir naemlich gar nicht
> einsichtig. Aber wenn Sie es mir erklaeren, dann versuchen Sie doch zur
> Abwechslung mal, es typkorrekt zu machen. Zahl im Sinne von
> "natuerlicher Zahl" wird im Diagonalargument AFAIK nicht benoetigt. Was
> heisst eigentlich "Zahlcharakter"?
>
> > Es geht darum, da=DF zwei nat=FCrliche Zahlen sich um mindestens 1
> > unterscheiden. Vor und nach Cantor. Und wenn wir unendlich viele
> > Unterschiede von 1 haben, dann ist das eben keine endliche Zahl mehr.
> > Es gibt also keine unendliche Menge endlicher Zahlen. Das ist aber das
> > Fundament der ML.
> Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik. Man
> schaut sich etwas an, spielt mit den Parametern und schliesst auf die
> Zusammenhaenge.
> Es wird Sie nun vielleicht nicht wundern, dass Mathematik nun eben so
> nicht funktioniert. Sie koennen eben nicht einfach aus dem Endlichen
> aufs Unendliche schliessen. Beispiele dafuer hab ich ja schon gebracht,
> wie ueblich wurden sie ignoriert. Ebenso wie der klassische Einwand,
> dass eine endliche Menge aller natuerlicher Zahlen eine groesste Zahl
> haben muesste, und da man zu der 1 dazuzaehlen koennte, gaebe es eine
> Groessere, Widerspruch, und damit ist die Menge der natuerlichen Zahlen
> unendlich.
> Ficht Sie nicht an, dass dieser simpelste aller Beweise Ihre Sichtweise
> widerlegt?
Was zeigt denn dieser Beweis? Das die nat=FCrlichen Zahlen als in einer Menge zusammengefasst angesehen werden k=F6nnen? Nein. Das sollte doch inzwischen allen klar sein, dass niemand die Unendlichkeit der nat=FCrlichen Zahlen anzweifelt. Die Frage ist doch, ob es legitim ist, deren Gesamtheit als Menge aufzufassen. > Das wuerde allerdings erklaeren, warum die "Kritik"
> bevorzugt von Physikern kommt, die in Mathematik allenfalls Laienstatus
> haben. Eine "social text affair" wird Ihnen mit der Mathematik aller
> Voraussicht nach nicht gelingen. Dafuer muessten Sie schon etwas weiter
> oben einsteigen, wo die Dinge nicht mehr jedem Erstsemester klar sein
> sollten.
>
> Nebenbei bemerkt, Ihre Ansicht ist auch schon deshalb fragwuerdig, weil
> man Unendlichkeiten nicht einfach uebertragen kann - der besagte
> Typfehler. Eine Mengen kann unendlich sein, auch wenn die Elemente der
> Menge begrenzt sind - Beispiel waeren die Bruchzahlen mit Zaehler 1.
Eben dies halte ich f=FCr ein Argument, das voll nach hinten losgeht. Hast Du Dir Gedanken dar=FCber gemacht, was f=FCr eine Rolle die Null in Deinem Beispiel spielt? Wenn unendlich viele Br=FCche mit Z=E4hler 1 ungleich Null sind, mit welcher Berechigung kann man den Limes dieser Folge als Null ansehen? Die Null wird ja als das Objekt angesehen, dass die Folge in dem fiktiven Fall "unendlich" eben erreicht. Wenn unendlich viele Folgeglieder von (1/n) ungleich Null sind, dann m=FCsste man ja die Null im "=DCberunendlichen" angesiedelt ansehen. Der Limes der Folge 1/n mit n e |N und n -> oo gleich 0 besagt eben, dass bei einem fiktiven erreichen von unendlichem n der Wert von 1/n als Null angesehen wird. Obwohl die Folge unendlich viele Werte enth=E4lt, ist keiner Null. Wenn n einen fiktiven unendlichen Wert erreicht, ist 1/n =3D 0. Wievielerlei Unendlichkeiten stecken denn da eigentlich drin? Ich finde zwei: Man k=F6nnte sie aktual und potentiell nennen. =20 Gru=DF Albrecht Storz
Am 14 Jan 2006 13:34:29 -0800 schrieb albrecht:
> Eben dies halte ich für ein Argument, das voll nach hinten losgeht.
> Hast Du Dir Gedanken darüber gemacht, was für eine Rolle die Null in
> Deinem Beispiel spielt? Wenn unendlich viele Brüche mit Zähler 1
> ungleich Null sind, mit welcher Berechigung kann man den Limes dieser
> Folge als Null ansehen?
> Die Null wird ja als das Objekt angesehen, dass die Folge in dem
> fiktiven Fall "unendlich" eben erreicht. Wenn unendlich viele
> Folgeglieder von (1/n) ungleich Null sind, dann müsste man ja die Null
> im "Überunendlichen" angesiedelt ansehen.
>
> Der Limes der Folge 1/n mit n e |N und n -> oo gleich 0 besagt eben,
> dass bei einem fiktiven erreichen von unendlichem n der Wert von 1/n
> als Null angesehen wird.
> Obwohl die Folge unendlich viele Werte enthält, ist keiner Null. Wenn
> n einen fiktiven unendlichen Wert erreicht, ist 1/n = 0.
> Wievielerlei Unendlichkeiten stecken denn da eigentlich drin?
> Ich finde zwei: Man könnte sie aktual und potentiell nennen.
Du machst einen Denkfehler: Für die Folge 1/n gilt: 1. Sie ist begrenzt 2. Die Grenzen sind 0 und 1 3. 0 ist die größte untere Grenze der Folge aber nicht Element der Folge. Aber: Es gibt kein e > 0 das kleiner als jedes Folgeglied ist. Der Limes ist als das einzige kleinste/größte Element definiert so das in jeder Umgebung Limes +-e stets unendlich viele Elemente der Folge liegen. Beachte: hier ist 1 eine Grenze und Element der Folge aber kein Limes. Deshalb darf ich die Folge 1/n (und jede andere mit der gleichen Eigenschaft) als Repräsentanten der 0 ansehen egal ob die 0 Element der Folge ist oder nicht. Für konvergente Folgen gelten die normalen Rechenregeln. Sprich man darf sie ungestraft addieren und multiplizieren. lim(a)+lim(b)=lim(a+b) usw. Und das ist der "Trick": Die Folgen werden so zu einem Modell der rellen Zahlen wobei für die Elemente der Folgen schon reicht wenn sie Element Q sind, also eine wirklich nette Eigenschaft. Mit der Bemerkung das man aus n->n+1 nicht folgern kann das die Gesamtheit eine konsistente Menge ist hast du wohl recht. Dieser Punkt ist natürlich notwendig damit 1/n Repäsentant der 0 sein kann. Aber ausser für Mückenheim sind diese Axiome so selbstverständlich das man nicht darüber nachdenkt. Sehe es dem Poster also nach. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass menschlicher Dummheit betrachten. (Voltaire)
Peter Niessen wrote:
> Aber: Es gibt kein e > 0 das kleiner als jedes Folgeglied ist. Der Limes
> ist als das einzige kleinste/größte Element definiert so das in jeder
> Umgebung Limes +-e stets unendlich viele Elemente der Folge liegen.
Was meinst Du hier mit „kleinste/größte“? Richtig (wenn auch ungewöhnlich formuliert) wäre: Der Limes ist als das einzige Element definiert so dass in jeder Umgebung Limes +-e mit e>0 stets unendlich viele Elemente der Folge liegen. > Mit der Bemerkung das man aus n->n+1 nicht folgern kann das die Gesamtheit
> eine konsistente Menge ist hast du wohl recht. Dieser Punkt ist natürlich
Deswegen gibt es in ZFC ja auch das Unendlichkeitsaxiom. Gruß, Christopher
Christopher Creutzig schrieb:
> Richtig (wenn auch ungewöhnlich formuliert) wäre:
>
> Der Limes ist als das einzige Element definiert so dass in jeder
> Umgebung Limes +-e mit e>0 stets unendlich viele Elemente der Folge liegen.
Wie Lukas-Fabian schon bemerkte: Auch wenn eine Folge nur einen einzigen Häufungspunkt besitzt, muss sie nicht konvergent sein. Es ist halt ein unterschied zwischen "unendlich viele" und "fast alle". Wirklich richtig ist mit dem obigen Sprachgebrauch: Der Limes ist als das einzige Element definiert, so dass in jeder Umgebung Limes +-e mit e>0 stets fast alle Elemente der Folge liegen. Dabei bedeutet "fast alle", was Du weisst, für andere aber erklärungs- bedürftig sein könnte: "für alle bis auf endlich viele". Gruss, Rainer Rosenthal r.rosenthal@web.de
Rainer Rosenthal wrote:
> Wie Lukas-Fabian schon bemerkte: Auch wenn eine Folge nur
> einen einzigen Häufungspunkt besitzt, muss sie nicht
> konvergent sein. Es ist halt ein unterschied zwischen
> "unendlich viele" und "fast alle".
Ack. I stand corrected. Gruß, Christopher
Peter Niessen schrieb:
> Der Limes ist als das einzige kleinste/größte
> Element definiert so das in jeder Umgebung
> Limes +-e stets unendlich viele Elemente
> der Folge liegen.
Hallo Peter, Du brauchst die Asche noch nicht aus dem Haar zu bürsten. Es ist zwar richtig, dass in jeder Umgebung des Limes einer Folge unendlich viele Folgenelemente liegen, aber dazu muss die Folge auch wirklich konvergieren. Wenn Du irgendeine Folge F hast und irgendeine Zahl Z, so dass in jeder Umgebung von Z unendlich viele Glieder der Folge F sind, dann gilt lediglich: Z ist Häufungspunkt der Folge F. Und nochmal kurz und prägnant: Der Limes einer Folge ist zugleich auch ein Häufungspunkt. Eine Folge kann aber Häufungspunkte besitzen ohne einen Limes zu besitzen. Beispiel: F(n) = (-1)^n hat keinen Limes aber zwei Häufungspunkte. Gruss, Rainer Rosenthal r.rosenthal@web.de P.S. Kannst Du Dir vorstellen, dass Deine Threadverlängerungen an anderen Stellen ähnlich daneben sind? Dort ist allerdings das Widerlegen etwas komplizierter und das Posten um des Postens willen eher angesagt :-(
Am Sun, 15 Jan 2006 10:34:56 +0100 schrieb Rainer Rosenthal:
> Peter Niessen schrieb:
>
>> Der Limes ist als das einzige kleinste/größte
>> Element definiert so das in jeder Umgebung
>> Limes +-e stets unendlich viele Elemente
>> der Folge liegen.
>
> Hallo Peter,
>
> Du brauchst die Asche noch nicht aus dem Haar zu bürsten.
Hallo Rainer In dem Fall: Schlichte Dämlichkeit (Brillenträger) wenn man bei einem Bruchstrich Oben und Unten verwechselt. > Es ist zwar richtig, dass in jeder Umgebung des Limes
> einer Folge unendlich viele Folgenelemente liegen, aber
> dazu muss die Folge auch wirklich konvergieren.
Ich hatte aber extra geschrieben: Der Limes ist der einzige Punkt mit der \epsilon Eigenschaft. > Wenn Du irgendeine Folge F hast und irgendeine Zahl Z,
> so dass in jeder Umgebung von Z unendlich viele Glieder
> der Folge F sind, dann gilt lediglich: Z ist Häufungspunkt
> der Folge F.
>
> Und nochmal kurz und prägnant: Der Limes einer Folge ist
> zugleich auch ein Häufungspunkt. Eine Folge kann aber
> Häufungspunkte besitzen ohne einen Limes zu besitzen.
Ich gebe dir Recht: Auch wenn es mehr Arbeit kostet: Genau formulieren muss einfach sein. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen
Hallo,
On Sun, 15 Jan 2006 12:55:36 +0100, Peter Niessen <peter-niessen@arcor.de> wrote: >> Es ist zwar richtig, dass in jeder Umgebung des Limes
>> einer Folge unendlich viele Folgenelemente liegen, aber
>> dazu muss die Folge auch wirklich konvergieren.
>Ich hatte aber extra geschrieben:
>Der Limes ist der einzige Punkt mit der \epsilon Eigenschaft.
Auch das hilft nicht viel, betrachte die Folge 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,... Sie erfüllt deine Eigenschaft, daß es nämlich genau einen einzigen Punkt gibt mit der Eigenschaft, daß jede seiner Umgebungen unendlich viele Folgenglieder enthält - aber konvergent ist die Folge trotzdem nicht. Grüße, Lukas
Am Sun, 15 Jan 2006 13:22:23 +0100 schrieb Lukas-Fabian Moser:
> Hallo,
>
> On Sun, 15 Jan 2006 12:55:36 +0100, Peter Niessen
> <peter-niessen@arcor.de> wrote:
>
>>> Es ist zwar richtig, dass in jeder Umgebung des Limes
>>> einer Folge unendlich viele Folgenelemente liegen, aber
>>> dazu muss die Folge auch wirklich konvergieren.
>
>>Ich hatte aber extra geschrieben:
>>Der Limes ist der einzige Punkt mit der \epsilon Eigenschaft.
>
> Auch das hilft nicht viel, betrachte die Folge
>
> 0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,...
>
> Sie erfüllt deine Eigenschaft, daß es nämlich genau einen einzigen
> Punkt gibt mit der Eigenschaft, daß jede seiner Umgebungen unendlich
> viele Folgenglieder enthält - aber konvergent ist die Folge trotzdem
> nicht.
Richtig sie ist ja nicht beschränkt. Aber ich sagte ja schon zu Rainer: Ich muss mir angewöhnen exakt zu formulieren. Aus notwendiger Bedingung folgt ja nicht hinreichend und schon hat man den Ärger. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen
Peter Niessen schrieb:
> Am 13 Jan 2006 12:17:31 -0800 schrieb peter schurr:
>
> >> Punktemenge gleichgross? Solche Worte allein deuten doch schon in
> >> Richtung Cantorschen Widersinns. Fl=E4che, Linie und Volumen sind nich=
t in
> >> endlich viele Punkte aufl=F6sbar.
> > Nicht nur "in Richtung Cantor", das stammt von ihm. Auf diese Weise hat
> > er ja "bewiesen", dass jedes Intervall des Kontinuums eine
> > Unendlichkeit darstellt, die in ihrer M=E4chtigkeit sich nicht
> > unterscheidet, egal ob sie ein Ausschnitt einer Strecke, einer Fl=E4che,
> > eines Volumens, oder des n-Dimensionalen repr=E4sentiert.
>
> Es steht dir frei das Gegenteil zu beweisen.
> Bis dahin gilt:
> Zwei Dummk=F6pfe treffen sich und raunen sich Dummheiten zu.
> --
> Mit freundlichen Gr=FC=DFen
> Peter Nie=DFen
>
> Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass
> menschlicher Dummheit betrachten.
> (Voltaire)
Das sieht man auch daran, dass der durch Zitate P=F6belnde, sich stets auf der richtigen Seite w=E4hnt... Wenn Alles was wir hier durchgehen so absurd und belanglos ist, was macht dir dann solche Angst, dass du keinen Beitrag unbeschmutzt stehen lassen kannst? Warum gehst du nicht mal nach innen und schaust nach der Wurzel deiner =C4ngste. Deine Agressionen und deine Sucht, andere, direkt und durch die Blume, bei jeder sich bietenden Gelegenheit pers=F6nlich anzust=E4nkern, geht doch schon ins Krankhafte. Mach doch einfach einen eigenen Faden auf, auf dem du deine titanenhafte =DCberlegenheit auf kreative und positive Weise zum Ausdruck bringen kannst. Aber vielleicht k=E4me da nichts. Was bringst du an neuen Sichtweisen oder eigenen Folgerungen auf die Reihe? Ein Schrittchen neben dem Mainstream hast du doch die Hosen schon gestrichen voll. Routinem=E4ssig fremde Sandburgen zu zertreten ist auch ein Ausweg, wenn man selbst nix zu Stande bringt... Ich w=FCnsch dir von Herzen gute Besserung und ein paar Erkenntnisse auch auf nichmathematischem Terrain. Dar=FCber hinaus werde ich deinen psychologischen Eiter zuk=FCnftig ignorieren. Der ist mir zu pathogen. Gruss,=20 Peter Schurr
Am 14 Jan 2006 05:28:45 -0800 schrieb peter schurr:
>> Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass
>> menschlicher Dummheit betrachten.
>> (Voltaire)
>
> Das sieht man auch daran, dass der durch Zitate Pöbelnde, sich stets
> auf der richtigen Seite wähnt...
>
> Wenn Alles was wir hier durchgehen so absurd und belanglos ist, was
> macht dir dann solche Angst, dass du keinen Beitrag unbeschmutzt stehen
> lassen kannst?
Oh! Die beleidigte Leberwurst? Beweise ganz einfach: Es gibt keine Bijektion R<->R^2 (hast du ja Behauptet) Solange du das nicht kannst ist dein Text geschwafel. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen
WM wrote:
> > Hier ist es nur noch voellig sinnfreies
> > Schwadronieren. Wen auf der weiten Welt interessiert es denn nur fuer
> > fuenf Pfennig, ob "oo" nun als "Zahl" oder als "Quantitaet" gemeint
> > ist?
> Es hat Cantor sein ganzes Leben lang interessiert. Mit Ihrer
> Einstellung h=E4tte er sich gleich von der Mathematik zur=FCckgezogen.
> Und es interessiert noch immer jeden, der sein wundersch=F6nes
> Diagonalargument von 1890 nachvollziehen m=F6chte. Da wird der
> Zahlcharakter n=E4mlich ben=F6tigt.
Das muessen Sie mir erklaeren. Das ist mir naemlich gar nicht
einsichtig. Aber wenn Sie es mir erklaeren, dann versuchen Sie doch zur Abwechslung mal, es typkorrekt zu machen. Zahl im Sinne von "natuerlicher Zahl" wird im Diagonalargument AFAIK nicht benoetigt. Was heisst eigentlich "Zahlcharakter"? > Es geht darum, da=DF zwei nat=FCrliche Zahlen sich um mindestens 1
> unterscheiden. Vor und nach Cantor. Und wenn wir unendlich viele
> Unterschiede von 1 haben, dann ist das eben keine endliche Zahl mehr.
> Es gibt also keine unendliche Menge endlicher Zahlen. Das ist aber das
> Fundament der ML.
Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik. Man
schaut sich etwas an, spielt mit den Parametern und schliesst auf die Zusammenhaenge. Es wird Sie nun vielleicht nicht wundern, dass Mathematik nun eben so nicht funktioniert. Sie koennen eben nicht einfach aus dem Endlichen aufs Unendliche schliessen. Beispiele dafuer hab ich ja schon gebracht, wie ueblich wurden sie ignoriert. Ebenso wie der klassische Einwand, dass eine endliche Menge aller natuerlicher Zahlen eine groesste Zahl haben muesste, und da man zu der 1 dazuzaehlen koennte, gaebe es eine Groessere, Widerspruch, und damit ist die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich. Ficht Sie nicht an, dass dieser simpelste aller Beweise Ihre Sichtweise widerlegt? Das wuerde allerdings erklaeren, warum die "Kritik" bevorzugt von Physikern kommt, die in Mathematik allenfalls Laienstatus haben. Eine "social text affair" wird Ihnen mit der Mathematik aller Voraussicht nach nicht gelingen. Dafuer muessten Sie schon etwas weiter oben einsteigen, wo die Dinge nicht mehr jedem Erstsemester klar sein sollten. Nebenbei bemerkt, Ihre Ansicht ist auch schon deshalb fragwuerdig, weil man Unendlichkeiten nicht einfach uebertragen kann - der besagte Typfehler. Eine Mengen kann unendlich sein, auch wenn die Elemente der Menge begrenzt sind - Beispiel waeren die Bruchzahlen mit Zaehler 1. Eine endliche Menge kann unendlich grosse Elemente enthalten - z.B. die Menge aller Folgen, die nur aus a bestehen (oder auch {IN}) - wobei auch hier erst einmal zu klaeren waere, was "Groesse" ueberhaupt ist. Dass die Menge der natuerlichen Zahlen unendlich ist, aber nur endliche Elemente enthaelt, ist insofern voellig natuerlich und verwundert eigentlich auf Dauer nur den, der davon verwundert werden will. > Aber das habe ich doch schon 1000 mal getan! Jedes Pfadb=FCndel kriegt
> die Kante zugeordet, die es durchl=E4uft. Bei einer Verzweigung wird das
> angesammelte Kantenverm=F6gen geteilt. Wenn eine vollst=E4ndige Zahl in
> Cantors Liste existiert, dann existieren auch alle reellen Zahlen aus
> [0, 1] im Baum. Und im Unendlichen werden aus Padb=FCndeln Pfade, von
> denen jeder mehr als eine Kante tr=E4gt. Einfacher geht es doch nicht!
Ja, bis auf den letzten Satz, den ich einfach nicht versteh, ist das in
Ordnung. Aber die Menge der Pfade in dem Baum ist ueberabzaehlbar. Wenn Sie einmal Ihren Einwand gegen diesen Sachverhalt mathematisch hinschreiben koennten, dann koennte man da auch drueber reden und nicht nur schwadronieren. Etwas einfach zu behaupten ist in der Mathematik genau nix wert - selbst eine "Vermutung" ist von ganz anderer Qualitaet. Gehe ich recht in der Annahme, dass Sie noch nie einen mathematischen Beweis gefuehrt haben? Ich meine, selbst und ausserhalb einer Uebung? In einer Publikation oder vergleichbarem?
Markus Sigg schrieb: > Ich m=F6chte mich nicht mit solchen H=E4ppchen abgeben. Legen Sie doch
> einen vollst=E4ndigen pr=E4zisierten Beweis mit mathematischen Begriffen
> vor, ganz ohne Poesie und Unterhaltungswert.
Versuchen Sie doch einmal, etwas ganz Neues zu denken, was Sie vielleich noch nie gedacht haben, und nicht immer nur in den alten ausgetretenen Pfaden (?) zu wandeln. Der Baum ist ein guter Ansatzpunkt daf=FCr. Er zeigt, da=DF bis zur Ebene n genau 2^(n+1) - 2 Kanten und 2^n Pfade existieren. "Unendlich" bedeutet nichts anderes, als da=DF dieses Gesetz immer weiter gilt, bis zu beliebig gro=DFen n. Nichts anderes bedeutet das Unendlich f=FCr Cantors Liste: Sie besitzt kein Ende, sondern an einer Stelle angelangt, kann man immer weiter gehen z. B. verdoppeln, verzehnfachen, ja verhundertfachen. Wie weit Sie im Baum auch gehen, immer gibt es mehr Kanten als Pfademengen. Cantor pflegt in solchen F=E4llen zu sagen: "und es erf=E4hrt daher der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsproze=DF keinen Stillstand." Das bezeicnet das Unendliche. Und damit hat er recht. Ich bin sicher, er h=E4tte meinen Baum auf Anhieb verstanden. Leider l=E4=DFt sich dar=FCber kein Nachweis mehr f=FChren. >
> >>Falls Ihre Argumentation sauber ist, l=E4=DFt sie sich auch pr=E4zisier=
en und
> >>mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
Leider l=E4=DFt sich nicht alles mit dieser FOPL erfassen. Darum ist es nicht einfach zu machen. Genau aus diesem Grunde vermutlich, gilt ZFC noch als unwiderlegt. Wenn Sie es schaffen k=F6nnten - w=E4re das nicht sehr interessant? > >
> >
> > Nicht alles saubere l=E4=DFt sich in FOPL formulieren. Was glauben Sie,
> > weshalb bisher dort noch kein Widerspruch aufgedeckt wurde?
>
> Was glauben Sie, weshalb die Mathematiker solche logischen Systeme
> eingef=FChrt haben?
Um ZFC zu sichern und Widerspr=FCche fernzuhalten nat=FCrlich. >
> Das M=FCckenheim-System ist inkonsistent.
Ich kann nur immer wieder versichern, es gibt kein M=FCckenheim System. Selbst bei strenger Befragung unter der Folter k=F6nnte ich nichts anderes sagen. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 03:41:04 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Der Baum ist ein guter Ansatzpunkt dafür. Er zeigt, daß bis zur Ebene
> n genau 2^(n+1) - 2 Kanten und 2^n Pfade existieren. "Unendlich"
> bedeutet nichts anderes, als daß dieses Gesetz immer weiter gilt,
> bis zu beliebig großen n [e IN].
>
In der Tat. :-)
>
> Nichts anderes bedeutet das Unendlich für Cantors Liste: Sie besitzt
> kein Ende, sondern an einer Stelle angelangt, kann man immer weiter
> gehen z. B. verdoppeln, verzehnfachen, ja verhundertfachen.
>
Ja, ja. So ist es. :-)
Nur wenn wir den g a n z e n unendlichen binären Baum betrachten, können wir eben kein n e IN angeben, sodaß die Formeln 2^(n+1)-2 bzw. 2^n die Anzahl der Kanten bzw. Pfade angeben. >>>>
>>>> Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und
>>>> mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
>>>>
> Leider läßt sich nicht alles mit dieser FOPL erfassen. Darum ist es
> nicht einfach zu machen.
>
Ich glaube nicht, dass hier jemand etwas dagegen hätte, wenn Sie den
Beweis in einem prädikatenlogischen System der 2. Ordnung (oder gar noch höherer Ordnung) führen. (Kurz zur Erklärung: Die Logik 2. Ordnung erlaubt das Quantifizieren über Prädikate/Eigenschaften.) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
albrecht schrieb: > WM wrote:
>
> >
> > Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... besitzt den Wert 2,
> > ohne da=DF sie irgendwo aufh=F6rt. Warum mu=DF meine irgendwo anfangen?
> > Wir ben=F6tigen lediglich den Grenzwert des folgenden Objektes:
> >
> > 1
> > 1/2 + 1
> > 1/4 + 1/2 + 1
> > 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1
> > ...
> >
> > Ich sage "Objekt", weil ich ihm in der Literatur noch nicht begegnet
> > bin und daher seinen Namen nicht kenne, wenn es denn schon einen
> > besitzen sollte. Trotzdem wage ich zu behaupten, da=DF der Grenzwert
> > f=FCr die Gliederzahl n --> oo genau 2 ist.
> >
>
>
> Na, da ist doch wohl die Partialsummenfolge der Folge 1/(2^n) mit n =3D
> 0, 1, 2, 3, ... gemeint, oder nicht? Deren Grenzwert ist die unendliche
> Reihe bzw. "Summe" der Reihe(1/(2^n)) =3D 2.
Richtig. Nur f=E4ngt sie hier von hinten an. Das =E4ndert nichts an ihrem Wert und seiner Aussage. Aber manche Orthodoxen lehnen alles ab, was nicht in ihren Kram pa=DFt. So lechzen sie stets nach einer Bijektion von P mit |N als Beweis der Abz=E4hlbarkeit von P. Der Nachweis, da=DF die Menge P eine geringere Anzahl von Elementen besitzt als eine Menge K gilt ihnen nichts, selbt wenn K in Bijektion mit |N steht. Gru=DF, WM
On 2006-01-26, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
> So lechzen sie stets nach einer Bijektion von P mit |N als Beweis der
> Abzählbarkeit von P.
Wirklich unpassend, zu verlangen, sich beim Nachweis einer Eigenschaft an die Definition dieser Eigenschaft zu halten. Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
Christopher Creutzig schrieb: > WM wrote:
>
> > So. F=E4llt Dir noch etwas ein, oder sind wir fertig?
>
> F=FCr den Moment gen=FCgen mir die bereits genannten Argumente. Dass Du
> ihre Relevanz und Korrektheit nicht sehen *willst*, ist mir schon klar.
Wer sichert denn die Stetigkeit der Cantorschen Diagonale? Die im Verlauf von 115 Jahren eingebrannte Gew=F6hnung? Solange die Zeilen in Cantors Liste oder die Ebenen im bin=E4ren Baum mit endlichen, nat=FCrlichen Zahlen bezeichnet werden, solange gelten die daf=FCr verwendeten Gesetzm=E4=DFigkeiten: Bei Cantor: a_nn wird ausgetauscht gegen d_n. Bei mir: 2^(n+1) -2 > 2^n f=FCr n > 1. Im Grenzfalle n =3D omega m=FC=DFte f=FCr beide Ans=E4tze Stetigkeit nachgewiesen werden. Im Falle Cantors ist die Stetigkeit n=E4mlich auch nicht unmittelbar einsichtig. Ich erinnere nur an folgenden Umstand, der immer wieder verdr=E4ngt wird: Die Diagonalziffer a_nn ist nur solange definiert ist, wie n endlich ist, also n < omega. Die Zeilenzahl in Cantors Liste ist aber omega, also gr=F6=DFer als jede endliche Zahl. Ein Unterschied zwischen d_n * 10^-omega und a_nn * 10^-omega besteht nicht mehr. Nun k=F6nnte man argumentieren, da=DF das Rechnen mit dem Unendlichen =FCberhaupt sinnlos ist und daher beide Argumente die f=FCr mathematische Beweise zu fordernde Strenge vermissen lassen (und man h=E4tte recht). Solange man aber Cantors Argument f=FCr korrekt h=E4lt, solange kann man sich nicht auf irgendwelche Stetigkeitsbedenken nur in meinem Falle zur=FCckziehen. Oder man k=F6nnte argumentieren, da=DF omega niemals erreicht wird (nat=FCrlich ohne auf die vollst=E4ndige Existenz von irrationalen Zahlen zu verzichten). Dann ist n immer endlich, trotzdem ist alles vollst=E4ndig, und f=FCr irgendwelche Stetigkeitszweifel besteht =FCberhaupt kein Anla=DF. >
> > Nehmen wir einmal
> > an, Du w=FCrdest einsehen, da=DF Deine Argumente nicht greifen. Was w=
=E4re
> > daraus zu schlie=DFen?
>
> Dann m=FCsste ich nach weiteren Fehlern in der Argumentation suchen.
> W=FCrde ich keine finden, w=FCrde ich als N=E4chstes versuchen, die
> Argumentation zu einem vern=FCnftigen Beweis umzuformulieren. Sollte mir
> das gelingen, w=E4ren wir beide anschlie=DFend vielleicht ziemlich verhas=
st,
> auf jeden Fall =E4u=DFerst bekannt.
Ich glaube, man darf nicht von den schlimmsten dsm-Typen auf honorige Mathematiker schlie=DFen. Ich habe in privater Korrespondenz noch keine Ha=DFprediger kennengelernt. Das Klima hier wird haupts=E4chlich durch psychologische Effekte verursacht, die schon Wilhelm Busch in zwei Vierzeilern deutlich herausgearbeitet hat: Der klugen Leute Ungeschick Stimmt uns besonders heiter; Man f=FChlt doch f=FCr den Augenblick Sich auch einmal gescheiter. Wenn andre kl=FCger sind als wir, Das macht uns selten nur Pl=E4sier, Doch die Gewi=DFheit, da=DF sie d=FCmmer, Erfreut fast immer. Einige erleben hier wenig Erfreuliches. Der st=E4ndige Frust schl=E4gt in Aggression um. Gru=DF, WM
On 26 Jan 2006 02:55:32 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Wer sichert denn die Stetigkeit der Cantorschen Diagonale?
>
Kannst Du kurz umreißen, worum es Dir hier geht? Was verstehst Du
unter der /Stetigkeit der Cantorschen Diagonale/? Wie ist der Begriff DEFINIERT? Wann ist sie nach dieser Definition stetig und wann nicht? (->Kriterien?) >
> Solange die Zeilen in Cantors Liste oder die Ebenen im binären Baum
> mit endlichen, natürlichen Zahlen bezeichnet werden, solange gelten
> die dafür verwendeten Gesetzmäßigkeiten: Bei Cantor: a_nn wird aus-
> getauscht gegen d_n.
>
Nein, da wird nix ausgetauscht. Man kann aber eine Zahl d so
definieren, dass man jede ihrer Stellen d_i angibt: d_n := f(a_nn) für alle n e IN. >
> Bei mir: 2^(n+1) - 2 > 2^n für n > 1.
>
Ja. Für jedes n e IN.
>
> Im Grenzfalle n = omega müßte für beide Ansätze Stetigkeit
> nachgewiesen werden.
> Im Falle Cantors ist die Stetigkeit nämlich auch nicht un-
> mittelbar einsichtig.
>
Herr, im Himmel, wovon redest Du eigentlich? :-o
>
> Ich erinnere nur an folgenden Umstand, der immer wieder
> verdrängt wird: Die Diagonalziffer a_nn ist nur solange
> definiert ist, wie n endlich ist, also n < omega.
>
Nein, dieser Umstand wird nicht "verdrängt". :-)
>>>>> d_n := f(a_nn) für alle n e IN. <<<<<
>
> Die Zeilenzahl in Cantors Liste ist aber omega, also größer
> als jede endliche Zahl.
>
Es ist hier besser von der /Anzahl der Zeilen/ zu sprechen, als von
der "Zeilenzahl". Die Anzahl der Zeilen ist aleph_0. >
> Ein Unterschied zwischen d_n * 10^-omega und a_nn * 10^-omega be-
> steht nicht mehr.
>
Abgesehen davon, dass das das ziemlich sinnfrei ist, was Du hier
sagst, ist es auch noch völlig irrelevant, selbst w e n n es irgend- einen Sinn h ä t t e. >
> Nun könnte man argumentieren, daß das Rechnen mit dem Unendlichen
> überhaupt sinnlos ist [...]
>
Tatsächlich wird in Cantors Diagonalbeweis NICHT mit dem Unendlichen
(also irgendwelchen unendlichen Kardinal- oder Ordinalzahlen) gerech- net. Auch die Definition der n-ten Stelle der Zahl d nimmt nur auf endliche n (d. h. auf n e IN) bezug. >
> Solange man aber Cantors Argument für korrekt hält [...]
>
Das tut man, ja.
>
> ...man könnte argumentieren, daß {...] n immer endlich ist, trotzdem
> ist alles vollständig [...]
>
Genau so argumentiert man.
>
> Der klugen Leute Ungeschick
> Stimmt uns besonders heiter;
> Man fühlt doch für den Augenblick
> Sich auch einmal gescheiter.
>
> Wenn andre klüger sind als wir,
> Das macht uns selten nur Pläsier,
> Doch die Gewißheit, daß sie dümmer,
> Erfreut fast immer.
>
Achselzuck. Das kann ich zwar (für mich) nicht nachvollziehen; bei Dir
mag es ja so sein. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Amicus wrote:
> Nur wenn wir den g a n z e n unendlichen binären Baum betrachten,
> können wir eben kein n e IN angeben, sodaß die Formeln 2^(n+1)-2
> bzw. 2^n die Anzahl der Kanten bzw. Pfade angeben.
Genau so ist es! Hinzu kommt, dass es für den ganzen unendlichen Baum keinen Sinn macht, den Begriff "Pfad" zu verwenden, denn das ist nach Definition immer eine endliche Knotenfolge. Eine schöne Eigenschaft hat dieser Baum: Er enthält sich selbst abzählbar unendlich oft als Teilbaum, da jeder Knoten des Baums selber wieder Wurzel eines solchen Teilbaums ist ;-) Einige Diskussionsteilnehmer erinnern mich in Ihrer "Argumentations"weise an Herrn Meier, der in eine Zoohandlung geht, dort einen Goldfisch kauft, diesen zuhaus in eine Hundehütte sperrt und danach ein Paper mit dem Titel "Der Fisch, ein Fehler der Natur: Er überlebt nicht mal 5 Minuten" schreibt und jede Kritik mit "Seid Ihr dumm und verblendet ihr Biologen!" abtut und eine Doktorarbeit mit dem Titel "Gott ist doch nicht so perfekt! Der Fisch, sein größter Fehler!" vorbereitet. Am meisten stört mich dabei die fast schon unerträgliche Überheblichkeit dieser Leute, sich Herauszunehmen, mehr zu verstehen oder können zu wollen, als Generationen von Mathematikern. Und das bei so einem einfachen Thema... Nicht jeder Metzger ist schon gleich Herzchirurg, nur weil er Fleisch aufschneidet und nicht jeder, der in der Kreisliga C unfallfrei gegen einen Ball tritt, ist schon automatisch Fußballnationalspieler ;-)) Tröstlich ist, dass man über Cantor noch in 100 Jahren spricht und seine Leistung (in der Mathematik) würdigt. Zu einer Zeit, wo die Beiträge unserer Spezis schon lange dort sind, wo sind hingehören: Auf dem Friedhof der Lächerlichkeit... Grüße, Andreas
On Fri, 20 Jan 2006 12:41:23 +0100, Andreas Homrighausen
<andreas.homrighausen@fernuni-hagen.de> wrote: >
> Genau so ist es! Hinzu kommt, dass es für den ganzen unendlichen
> Baum keinen Sinn macht, den Begriff "Pfad" zu verwenden,
> denn das ist nach Definition immer eine endliche Knotenfolge.
>
Huh? M. E. irrst Du hier. Für einem unendlichen Baum sind natürlich
auch unendliche Pfade definiert. Und ein unendlicher Pfad ist offen- sichtlich (auch) ein Pfad. ;-) >
> Eine schöne Eigenschaft hat dieser Baum:
> Er enthält sich selbst abzählbar unendlich oft als Teilbaum,
> da jeder Knoten des Baums selber wieder Wurzel eines solchen
> Teilbaums ist ;-)
>
Ja.
Und er besitzt überabzählbar viele (unendliche) Pfade. >
> Am meisten stört mich dabei die fast schon unerträgliche
> Überheblichkeit dieser Leute, sich Herauszunehmen, mehr zu
> verstehen oder können zu wollen, als Generationen von Mathe-
> matikern.
>
Ja, das sehe ich auch so. Man könnte beinahe versucht sein, das für
eine bestimmte Form einer psychischen bzw. geistigen Störung zu halten. >
> Und das bei so einem einfachen Thema...
> Nicht jeder Metzger ist schon gleich Herzchirurg, nur weil er
> Fleisch aufschneidet und nicht jeder, der in der Kreisliga C
> unfallfrei gegen einen Ball tritt, ist schon automatisch
> Fußballnationalspieler ;-))
>
Ja, so würde es ein rational denkender Mensch wohl sehen.
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>Ich möchte mich nicht mit solchen Häppchen abgeben. Legen Sie doch
>>einen vollständigen präzisierten Beweis mit mathematischen Begriffen
>>vor, ganz ohne Poesie und Unterhaltungswert.
>
>
> Versuchen Sie doch einmal, etwas ganz Neues zu denken, was Sie
> vielleich noch nie gedacht haben, und nicht immer nur in den alten
> ausgetretenen Pfaden (?) zu wandeln.
Überlassen Sie mir, wann ich es für richtig halte, nach Neuerungen und Verbesserungen zu suchen. Oder wollten Sie damit nur andeuten, daß Sie etwas Neues gedacht haben, das ich zur Kenntnis nehmen möge? Oder ist das ein Lob auf Cantor, der es damals gewagt hat, etwas revolutionär Neues zu denken? > Der Baum ist ein guter Ansatzpunkt dafür. Er zeigt, daß bis zur Ebene
> n genau 2^(n+1) - 2 Kanten und 2^n Pfade existieren. "Unendlich"
> bedeutet nichts anderes, als daß dieses Gesetz immer weiter gilt, bis
> zu beliebig großen n. Nichts anderes bedeutet das Unendlich für
> (...)
Völliger Unsinn, genau wie das Weitere. >>Was glauben Sie, weshalb die Mathematiker solche logischen Systeme
>>eingeführt haben?
>
>
> Um ZFC zu sichern und Widersprüche fernzuhalten natürlich.
Richtig. Um das mathematische Schließen auf eine sichere Grundlage zu stellen. Und die Mathematiker haben die Sache gut gemacht, wie man sieht. Ohne so ein System läuft man in die Probleme, die Sie ständig haben. >>Das Mückenheim-System ist inkonsistent.
>
>
> Ich kann nur immer wieder versichern, es gibt kein Mückenheim System.
> Selbst bei strenger Befragung unter der Folter könnte ich nichts
> anderes sagen.
Aha, also haben Sie doch nichts Neues? Was sollte dann die obige Bemerkung? Alles, was Sie haben, ist also ein gescheiterter Versuch, eine Inkonsistenz in der Mengenlehre zu finden, der, wenn überhaupt irgendwas, dann höchstens beweist, daß Ihre eigenen Begriffe inkonsistent sind. Wenn Sie "Unendlich" definieren, wie Sie es oben taten, und dann damit einen Widerspruch herleiten, dann haben Sie gezeigt, daß Ihre Definition untauglich ist. Gruß, Markus Sigg
Markus Sigg schrieb: > > Der Baum ist eine =FCbliche mathematische und deswegen durchaus nicht
> > erl=E4uterungsbed=FCrftige Struktur. Aber selbst wenn ich erstmals auf
> > diese Idee gekommen w=E4re, so k=F6nnte sie jeder Oberrealsch=FCler ohne
> > Probleme nachvollziehen.
>
> Jeder Oberrealsch=FCler kann sehen, da=DF Ihre undefinierten und uneinhei=
tlich
> benutzten Begriffe ("Pfad", "Pfadb=FCndel", "letzte Kante") faul sind.
>
"Letzte Kante" war ein Scherz, der allerdings keinen gr=F6=DFeren
Unerhaltungswert besitzt als die vollendete Unendlichkeit. "Pfad, Knoten, Kante, Ebene" sind standard. Pfadb=FCndel ist eine etwas poetische, aber wohl auch sehr suggestive Bezeichnung. Ich neige dazu, m=F6glichst anschaulich zu erkl=E4ren. Aber statt dessen kann man auch ganz prosaisch und korrekt "Pfadmenge" sagen. > Falls Ihre Argumentation sauber ist, l=E4=DFt sie sich auch pr=E4zisieren=
und
> mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
Nicht alles saubere l=E4=DFt sich in FOPL formulieren. Was glauben Sie, weshalb bisher dort noch kein Widerspruch aufgedeckt wurde? Gru=DF, WM
Markus Sigg schrieb: > WM wrote:
>
> > Markus Sigg schrieb:
> >
> >
> >
> >>Unverst=E4ndliches Geblubber.
> >
> >
> > Wenn das h=E4ufiger auftritt, sollten Sie die Trennsch=E4rfe Ihrer
> > Rezeptoren =FCberpr=FCfen und ggf. neu justieren lassen. Geht der Fehler
> > aber auf die CPU zur=FCck, dann hilft meistens nur ein Austausch.
> >
> > Gru=DF, WM
>
> Und wo ist Ihre surjektive Abbildung?
Da kommt wohl doch nur der Austausch in Frage. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>WM wrote:
>>
>>
>>>Markus Sigg schrieb:
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>>Unverständliches Geblubber.
>>>
>>>
>>>Wenn das häufiger auftritt, sollten Sie die Trennschärfe Ihrer
>>>Rezeptoren überprüfen und ggf. neu justieren lassen. Geht der Fehler
>>>aber auf die CPU zurück, dann hilft meistens nur ein Austausch.
>>>
>>>Gruß, WM
>>
>>Und wo ist Ihre surjektive Abbildung?
>
>
> Da kommt wohl doch nur der Austausch in Frage.
Haben Sie meine Frage verstanden? Haben Sie die Begriffe "Abbildung" und "surjektiv" verstanden? Wo ist Ihre surjektive Abbildung der Menge der Kanten auf die Menge der unendlichen Pfade? Gruß, Markus Sigg
On Sat, 28 Jan 2006 12:21:25 +0100, Markus Sigg <nomail@infimum.de>
wrote: >>>>>
>>>>> Unverständliches Geblubber.
>>>>>
Es ist schon erstaunlich, dass das die _einhellige_ Meinung der (allermeisten) Teilnehmer in diesem Forum ist, WM es aber offen- bar vorzieht, diesen Sachverhalt zu ignorieren. Das Beispiel mit dem Geisterfahrer (auf der Autobahn) ist hier schon einige Male genannt worden. [...] A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 18 Jan 2006 06:08:40 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>
>> Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und
>> mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
>>
> Nicht alles saubere läßt sich in FOPL formulieren.
>
Wie sagt man heute doch so gern: "Umgekehrt wird ein Schuh draus."
Wenn Sie etwas in der Sprache der FOPL formulieren können, dann ist es wenigstens /sauber/ formuliert. (Und ist damit einer _exakten_ mathe- matischen Analyse/Bearbeitung zugänglich.) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 18 Jan 2006 06:08:40 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> "Letzte Kante" war ein Scherz [...]
>
Ja, wir haben alle sehr gelacht! :-)
Ein /unendlicher Baum/ mit einer /letzten Kante/, ein typischer Mückenheim-Streich! :-) >
> "Pfad, Knoten, Kante, Ebene" sind standard. Pfadbündel ist [...]
>
Es hat aber s e h r lange gedauert (und war nicht ganz einfach), ihnen
die Notwendigkeit der Unterscheidung zwischen Pfaden und "Pfadbündeln" klar zu machen. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 18 Jan 2006 06:08:40 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
>Markus Sigg schrieb:
>
>> > Der Baum ist eine übliche mathematische und deswegen durchaus nicht
>> > erläuterungsbedürftige Struktur. Aber selbst wenn ich erstmals auf
>> > diese Idee gekommen wäre, so könnte sie jeder Oberrealschüler ohne
>> > Probleme nachvollziehen.
>>
>> Jeder Oberrealschüler kann sehen, daß Ihre undefinierten und uneinheitlich
>> benutzten Begriffe ("Pfad", "Pfadbündel", "letzte Kante") faul sind.
>>
>"Letzte Kante" war ein Scherz, der allerdings keinen größeren
>Unerhaltungswert besitzt als die vollendete Unendlichkeit. "Pfad,
>Knoten, Kante, Ebene" sind standard. Pfadbündel ist eine etwas
>poetische, aber wohl auch sehr suggestive Bezeichnung. Ich neige dazu,
>möglichst anschaulich zu erklären. Aber statt dessen kann man auch
>ganz prosaisch und korrekt "Pfadmenge" sagen.
>
>> Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und
>> mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
>
>Nicht alles saubere läßt sich in FOPL formulieren.
Sowas nennt man Selbstimmunisierung.
>Was glauben Sie,
>weshalb bisher dort noch kein Widerspruch aufgedeckt wurde?
>
>Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>>Der Baum ist eine übliche mathematische und deswegen durchaus nicht
>>>erläuterungsbedürftige Struktur. Aber selbst wenn ich erstmals auf
>>>diese Idee gekommen wäre, so könnte sie jeder Oberrealschüler ohne
>>>Probleme nachvollziehen.
>>
>>Jeder Oberrealschüler kann sehen, daß Ihre undefinierten und uneinheitlich
>>benutzten Begriffe ("Pfad", "Pfadbündel", "letzte Kante") faul sind.
>>
>
> "Letzte Kante" war ein Scherz, der allerdings keinen größeren
> Unerhaltungswert besitzt als die vollendete Unendlichkeit. "Pfad,
> Knoten, Kante, Ebene" sind standard. Pfadbündel ist eine etwas
> poetische, aber wohl auch sehr suggestive Bezeichnung. Ich neige dazu,
> möglichst anschaulich zu erklären. Aber statt dessen kann man auch
> ganz prosaisch und korrekt "Pfadmenge" sagen.
Ich möchte mich nicht mit solchen Häppchen abgeben. Legen Sie doch einen vollständigen präzisierten Beweis mit mathematischen Begriffen vor, ganz ohne Poesie und Unterhaltungswert. >>Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und
>>mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
>
>
> Nicht alles saubere läßt sich in FOPL formulieren. Was glauben Sie,
> weshalb bisher dort noch kein Widerspruch aufgedeckt wurde?
Was glauben Sie, weshalb die Mathematiker solche logischen Systeme eingeführt haben? Sie haben keine Logik. Das Mückenheim-System ist inkonsistent. Das haben Sie mit Ihren Überlegungen zum binären Baum selbst bewiesen. Oder was glauben Sie, bewiesen zu haben? Gruß, Markus Sigg
WM wrote: >
> Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... besitzt den Wert 2,
> ohne da=DF sie irgendwo aufh=F6rt. Warum mu=DF meine irgendwo anfangen?
> Wir ben=F6tigen lediglich den Grenzwert des folgenden Objektes:
>
> 1
> 1/2 + 1
> 1/4 + 1/2 + 1
> 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1
> ...
>
> Ich sage "Objekt", weil ich ihm in der Literatur noch nicht begegnet
> bin und daher seinen Namen nicht kenne, wenn es denn schon einen
> besitzen sollte. Trotzdem wage ich zu behaupten, da=DF der Grenzwert
> f=FCr die Gliederzahl n --> oo genau 2 ist.
>
Na, da ist doch wohl die Partialsummenfolge der Folge 1/(2^n) mit n =3D 0, 1, 2, 3, ... gemeint, oder nicht? Deren Grenzwert ist die unendliche Reihe bzw. "Summe" der Reihe(1/(2^n)) =3D 2. Die mathematische Nomenklatur ist hier etwas unsauber, da nat=FCrlich nicht =FCber unendlich viele Glieder summiert werden kann. Aber das wissen hier einige genauer wie ich (z.B. bez=FCglich der korrekten Schreibweisen). Gru=DF AS
hbdere wrote:
> WM wrote:
>> Es geht darum, daß zwei natürliche Zahlen sich um mindestens 1
>> unterscheiden. Vor und nach Cantor. Und wenn wir unendlich viele
>> Unterschiede von 1 haben, dann ist das eben keine endliche Zahl mehr.
>> Es gibt also keine unendliche Menge endlicher Zahlen. Das ist aber
>> das Fundament der ML.
> Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik.
Physikalismus. F. N. -- xyz
Franziska Neugebauer schrieb:
> hbdere wrote:
>
>>WM wrote:
>>
>>>Es geht darum, daß zwei natürliche Zahlen sich um mindestens 1
>>>unterscheiden. Vor und nach Cantor. Und wenn wir unendlich viele
>>>Unterschiede von 1 haben, dann ist das eben keine endliche Zahl mehr.
>>>Es gibt also keine unendliche Menge endlicher Zahlen. Das ist aber
>>>das Fundament der ML.
>>
>>Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik.
>
>
> Physikalismus.
>
> F. N.
In der Literatur nennt man es, glaube ich, radikaler oder Ultra-Finitismus. Rudolf Sponsel, Erlangen
On Sat, 14 Jan 2006 18:00:58 +0100, Rudolf Sponsel
<rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote: >
> In der Literatur nennt man es, glaube ich, radikaler oder Ultra-
> Finitismus.
>
Ja. Das Problem mit dem guten Mückenheim ist aber, dass er nicht
einfach nur einen ultra-finitistischen Standpunkt vertritt (was hier natürlich an sich schon für "Widerspruch" sorgen würde ;-), sondern eine Menge mathematisch unsinniger oder falscher Behauptungen auf- stellt. (Dieser Umstand hat mit dem Grundlagenstandpunkt, den man einnimmt, nichts zu tun, sondern ist lediglich Ausdruck einer voll- kommenen Inkompetenz, in bezug auf die Mathematik. Ein Wesenszug, den er übrigens mit Dir und EB gemein hat. :-) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Rudolf Sponsel wrote:
> Franziska Neugebauer schrieb:
>> hbdere wrote:
>>> [...]
>>>Jetzt wird mir einiges klar. Was Sie hier betreiben, ist Physik.
>> Physikalismus.
> In der Literatur nennt man es, glaube ich, radikaler oder
> Ultra-Finitismus.
Jedenfalls ist es keine Physik. F. N. -- xyz
Markus Sigg schrieb: > WM wrote:
> > Markus Sigg schrieb:
> >
> >>Gut. Dann wissen wir also, da=DF die nat=FCrlichen Zahlen durch die Spr=
ache
> >>der Arithmetik nicht vollst=E4ndig beschrieben sind,
> >
> >
> > Hoppla, das ist aber ganz sch=F6n anma=DFend. Durch die Sprache der
> > Arithmetik werden die nat=FCrlichen Zahlen nat=FCrlich vollst=E4ndig
> > beschrieben. Mach einen Strich, mach noch einen Strich, usw., also z.B.
>
> Nein, das ist nicht die Sprache der Arithmetik. Sie verwechseln da etwas.
> Schauen Sie in irgendein Buch =FCber Logik unter "Arithmetik", "Sprache d=
er
> Arithmetik" oder "Language of Arithmetic". Etwa Boolos/Jeffrey in Kapitel=
14.
Schauen Sie in irgendein Buch =FCber Astrologie. Dort finden Sie =E4hnlich ungerechtfertigte Aussagen in Hinsicht auf =E4hnlich ungerechtfertigte Anspr=FCche. > > Der Versuch, die nat=FCrlichen Zahlen in FOPL eindeutig zu beschreiben,
> > mi=DFlingt dagegen. Daher ist FPL nicht zur Verst=E4ndigung =FCber
> > mathematische Probleme geeignet.
>
> Sie ist nicht zur Verst=E4ndigung =FCber alle mathematischen Probleme gee=
ignet.
> Na und?
Sie ist nicht zur Verst=E4ndigung =FCber die wesentlichen mathematischen Probleme geeignet. >
> > Sie konzedieren, da=DF FOPL die nat=FCrlichen Zahlen nicht eindeutig
> > fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten
> > FOPL sogar f=FCr "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn
>
> Nein, das will ich nicht. Wie kommen Sie denn darauf?
Es schien mir so. Was verwenden Sie denn? >
> > K=F6nnten Sie mal eben Ihr abz=E4hlbares Lieblingsmodell posten, das al=
le
> > ZF-Axiome erf=FCllt? (Ich sammle n=E4mlich solche Modelle in meiner
> > privaten leeren Menge)
>
> Nicht mal wenn ich ein Logiker oder Modelltheoretiker w=E4re, m=FC=DFte i=
ch ein
> Lieblingsmodell haben, sondern w=FCrde mich im Gegenteil der Untersuchung
> verschiedenster Modelle widmen.
Mit dem ern=FCchternden Ergebnis, da=DF es ein solches Modell nicht gibt. Das wollte ich nur nicht so schroff ausdr=FCcken. Weder Sie noch sonst jemand kann ein Modell angeben. Der Grund daf=FCr ist einfach zu erraten. Gru=DF, WM
Hallo!
On 2006-01-14, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote: >
> Markus Sigg schrieb:
>
>> WM wrote:
>> > Könnten Sie mal eben Ihr abzählbares Lieblingsmodell posten, das alle
>> > ZF-Axiome erfüllt? (Ich sammle nämlich solche Modelle in meiner
>> > privaten leeren Menge)
>>
>> Nicht mal wenn ich ein Logiker oder Modelltheoretiker wäre, müßte ich ein
>> Lieblingsmodell haben, sondern würde mich im Gegenteil der Untersuchung
>> verschiedenster Modelle widmen.
>
> Mit dem ernüchternden Ergebnis, daß es ein solches Modell nicht gibt.
> Das wollte ich nur nicht so schroff ausdrücken. Weder Sie noch sonst
> jemand kann ein Modell angeben.
`Gibt es nicht' und `kann niemand angeben' sind zwei verschiedene Dinge. Zumindest in der Mathematik, wie wir sie üblicher Weise betreiben. > Der Grund dafür ist einfach zu erraten.
Könnte man ein Modell (egal welcher Größe) angeben und beweisen, dass es ein Modell ist, so hätte man bewiesen, dass ZFC konsistent ist. Hätte man all dies in ZFC getan, so würde aus Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz folgen, dass ZFC inkonsistent ist. Anderer ist in ZFC beweisbar: Ist ZFC konsistent, so existiert ein abzählbares Modell von ZFC. Letzteres folgt aus dem Vollständigkeitssatz und Löwenheim-Skolem. (Wobei ich mit beiden Ergebnissen nicht recht vertraut bin, so dass ich Details übersehen haben mag.) Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
Carsten Schultz wrote:
> Könnte man ein Modell (egal welcher Größe) angeben und beweisen, dass
> es ein Modell ist, so hätte man bewiesen, dass ZFC konsistent ist.
> Hätte man all dies in ZFC getan, so würde aus Gödels zweitem
> Unvollständigkeitssatz folgen, dass ZFC inkonsistent ist.
Das sehe ich zwar ein, aber wo in der folgenden Überlegung steckt denn der Fehler? Angenommen, M sei ein Modell von ZFC. Wir führen das neue Axiom AM ein: „M ist ein Modell von ZFC“. Dann ist M sicherlich auch ein Modell von ZFC+AM, womit ZFC+AM inkonsistent ist, was aber nur dann sein kann, wenn ZFC inkonsistent oder M kein Modell von ZFC ist. Ich halte diese Argumentation nicht für neu und es wird eine korrekte Standard-Widerlegung geben – kann sie mir irgendjemand nennen? Gruß, Christopher
Hallo,
On 2006-01-15, Christopher Creutzig <christopher@creutzig.de> wrote: > Carsten Schultz wrote:
> Das sehe ich zwar ein, aber wo in der folgenden Überlegung steckt denn
> der Fehler?
Du machst Dir nicht klar, in welchem Modell Du Dich bewegst und in welcher Sprache Du redest. > Angenommen, M sei ein Modell von ZFC.
Was ist M? Wenn es ein Objekt von ZFC ist, ist aus absoluter Sicht nichts gewonnnen. Wenn es kein Objekt von ZFC ist, kann man innerhalb von ZFC darueber keine Aussage treffen. > Wir führen das neue Axiom AM ein: „M ist ein Modell von ZFC“.
Ok, wir wollen also in ZFC bzw. einer Erweiterung arbeiten und dort eine Menge(!) M haben, die ein Modell von ZFC ist. > Dann ist M sicherlich auch ein Modell von ZFC+AM,
Langsam! Innerhalb von M ist M selbst natuerlich keine Menge, also nichts worueber man ueberhaupt reden kann. AM waere also nicht erfuellt. > womit ZFC+AM inkonsistent ist, was aber nur dann sein kann,
> wenn ZFC inkonsistent oder M kein Modell von ZFC ist.
>
> Ich halte diese Argumentation nicht für neu und es wird eine korrekte
> Standard-Widerlegung geben – kann sie mir irgendjemand nennen?
Ich hab's versucht... Gruesse Christian -- THAT'S ALL FOLKS!
Christian Ehrhardt schrieb:
> Hallo,
>
> On 2006-01-15, Christopher Creutzig <christopher@creutzig.de> wrote:
>
>>Carsten Schultz wrote:
>> Das sehe ich zwar ein, aber wo in der folgenden Überlegung steckt denn
>>der Fehler?
>
>
> Du machst Dir nicht klar, in welchem Modell Du Dich bewegst und in
> welcher Sprache Du redest.
>
>
>> Angenommen, M sei ein Modell von ZFC.
>
>
> Was ist M? Wenn es ein Objekt von ZFC ist, ist aus absoluter Sicht nichts
> gewonnnen. Wenn es kein Objekt von ZFC ist, kann man innerhalb von ZFC
> darueber keine Aussage treffen.
>
>
>>Wir führen das neue Axiom AM ein: „M ist ein Modell von ZFC“.
>
>
> Ok, wir wollen also in ZFC bzw. einer Erweiterung arbeiten und dort
> eine Menge(!) M haben, die ein Modell von ZFC ist.
>
>
>>Dann ist M sicherlich auch ein Modell von ZFC+AM,
>
>
> Langsam! Innerhalb von M ist M selbst natuerlich keine Menge, also nichts
Was soll denn das heißen: "Innerhalb von M ist M ... ", M ist doch oben als ein Modell von ZFC explizit angenommen worden? Eine Geige ist im Orchester eine Geige, aber doch auch, wenn sie im Schrank liegt. > worueber man ueberhaupt reden kann. AM waere also nicht erfuellt.
>
>
>>womit ZFC+AM inkonsistent ist, was aber nur dann sein kann,
>>wenn ZFC inkonsistent oder M kein Modell von ZFC ist.
>>
>> Ich halte diese Argumentation nicht für neu und es wird eine korrekte
>>Standard-Widerlegung geben – kann sie mir irgendjemand nennen?
>
>
> Ich hab's versucht... Gruesse Christian
>
und ich habs gar nicht verstanden.
Rudolf Sponsel, Erlangen
On 2006-01-15, Christopher Creutzig <christopher@creutzig.de> wrote:
> Carsten Schultz wrote:
>
>> Könnte man ein Modell (egal welcher Größe) angeben und beweisen, dass
>> es ein Modell ist, so hätte man bewiesen, dass ZFC konsistent ist.
>> Hätte man all dies in ZFC getan, so würde aus Gödels zweitem
>> Unvollständigkeitssatz folgen, dass ZFC inkonsistent ist.
>
> Das sehe ich zwar ein, aber wo in der folgenden Überlegung steckt denn
> der Fehler?
>
> Angenommen, M sei ein Modell von ZFC. Wir führen das neue Axiom AM
> ein: „M ist ein Modell von ZFC“. Dann ist M sicherlich auch ein Modell
> von ZFC+AM, womit ZFC+AM inkonsistent ist, was aber nur dann sein kann,
> wenn ZFC inkonsistent oder M kein Modell von ZFC ist.
>
> Ich halte diese Argumentation nicht für neu und es wird eine korrekte
> Standard-Widerlegung geben – kann sie mir irgendjemand nennen?
Das Argument scheint mir im wesentlichen richtig zu sein und zu zeigen, dass es eine Struktur, die man `hinschreiben' kann, was ja notwendig dafür ist, dass sich AM formulieren lässt, nur dann ein Modell von ZFC sein kann, wenn ZFC inkonsistent ist. Ich bin mir aber nicht bei allen Schritten ganz sicher. Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>WM wrote:
>>
>>>Markus Sigg schrieb:
>>>
>>>
>>>>Gut. Dann wissen wir also, daß die natürlichen Zahlen durch die Sprache
>>>>der Arithmetik nicht vollständig beschrieben sind,
>>>
>>>
>>>Hoppla, das ist aber ganz schön anmaßend. Durch die Sprache der
>>>Arithmetik werden die natürlichen Zahlen natürlich vollständig
>>>beschrieben. Mach einen Strich, mach noch einen Strich, usw., also z.B.
>>
>>Nein, das ist nicht die Sprache der Arithmetik. Sie verwechseln da etwas.
>>Schauen Sie in irgendein Buch über Logik unter "Arithmetik", "Sprache der
>>Arithmetik" oder "Language of Arithmetic". Etwa Boolos/Jeffrey in Kapitel 14.
>
>
> Schauen Sie in irgendein Buch über Astrologie. Dort finden Sie
> ähnlich ungerechtfertigte Aussagen in Hinsicht auf ähnlich
> ungerechtfertigte Ansprüche.
Solche Bücher besitze ich nicht und interessiere mich auch nicht dafür. Vielleicht kennen Sie sich in diesem Gebiet besser aus. Und: Falls Sie keine besseren Argumente haben, lassen Sie das Schreiben lieber sein. >>>Der Versuch, die natürlichen Zahlen in FOPL eindeutig zu beschreiben,
>>>mißlingt dagegen. Daher ist FPL nicht zur Verständigung über
>>>mathematische Probleme geeignet.
>>
>>Sie ist nicht zur Verständigung über alle mathematischen Probleme geeignet.
>>Na und?
>
>
> Sie ist nicht zur Verständigung über die wesentlichen mathematischen
> Probleme geeignet.
Ich weiß nicht, wie sie "wesentlich" definieren. Es ist auch nicht wichtig, und es ist nicht wichtig, ob FOPL für die in Ihrem Sinne wesentlichen Probleme geeignet ist. Es ist aber interessant und wichtig zu wissen, daß sie nicht für alles geeignet ist. >>>Sie konzedieren, daß FOPL die natürlichen Zahlen nicht eindeutig
>>>fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten
>>>FOPL sogar für "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn
>>
>>Nein, das will ich nicht. Wie kommen Sie denn darauf?
>
>
> Es schien mir so. Was verwenden Sie denn?
Wie meinen Sie das? Ich bin kein Logiker und kein Modelltheoretiker, ich verstehe aber genug davon, um zu sehen, daß Sie Stuß reden und Begriffe (aus Ahnungslosigkeit oder böswillig) durcheinanderbringen. In der Tat formulieren Mathematiker, die nicht über formale Sprachen und Logik arbeiten, ihre Überlegungen und Beweise nicht in FOPL, sondern erlauben sich mehr Freiheit. Ist Ihnen das neu? Mathematiker sind trotzdem in der Lage, Mathematik von Quark zu unterscheiden. >>>Könnten Sie mal eben Ihr abzählbares Lieblingsmodell posten, das alle
>>>ZF-Axiome erfüllt? (Ich sammle nämlich solche Modelle in meiner
>>>privaten leeren Menge)
>>
>>Nicht mal wenn ich ein Logiker oder Modelltheoretiker wäre, müßte ich ein
>>Lieblingsmodell haben, sondern würde mich im Gegenteil der Untersuchung
>>verschiedenster Modelle widmen.
>
>
> Mit dem ernüchternden Ergebnis, daß es ein solches Modell nicht gibt.
> Das wollte ich nur nicht so schroff ausdrücken. Weder Sie noch sonst
> jemand kann ein Modell angeben. Der Grund dafür ist einfach zu
> erraten.
Es gibt kein Lieblingsmodell? Das ist ja furchtbar. Ach, jetzt verstehe ich. Es geht Ihnen gar nicht um ein "Lieblings"modell und nicht um die Menge der natürlichen Zahlen. Es geht Ihnen um den Sachverhalt, daß der Körper der reellen Zahlen nicht über FOPL vollständig charakterisiert werden kann. (Da die Sprache der Arithmetik nur abzählbare viele Sätze bilden kann und somit nach Löwenheim/Skolem für jede Satzmenge ein abzählbares und damit nicht zu IR isomorphes Modell existiert.) Ich glaube gerne, daß Ihnen dieses schöne Ergebnis nicht gefällt, denn es zeigt, daß Ihre private Lieblingsmodellsammelei ganz und gar aussichtlos ist. Gruß, Markus Sigg
Christian Kortes schrieb: > Amicus wrote:
> > -----------------------------------------
> > Grundeigenschaften der nat=FCrlichen Zahlen
> > -----------------------------------------
> >
> > Als Erstes ben=F6tigen wir eine Definition:
> >
> > Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
> >
> > 1. 0 e M
> > 2. An(n e M -> n+1 e M)
>
> Dann ist also auch der K=F6rper mit zwei Elementen induktiv?
"Hypothesen" welche gegen diese Grundwahrheiten versto=DFen, sind ebenso falsch und widersprechend, wie etwa der Satz 2 + 2 =3D 5 oder ein viereckiger Kreis. Es gen=FCgt f=FCr mich, derartige Hypothesen an die Spitze irgend einer Untersuchung gestellt zu sehen, um von vorn herein zu wissen, da=DF diese Untersuchung falsch sein muss. (Cantor) Dazu geh=F6rt nat=FCrlich auch 1 + 1 =3D 0. Schlicht: eine Perversion der Mathematik. (Hat diese nicht Hilbert erfunden?) Wer an der Bedeutung von "+1" r=FCttelt, sollte zumindest in Abwesenheit gez=FCchtigt werden. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 09:51:13 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>>
>>> Als Erstes benötigen wir eine Definition:
>>>
>>> Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
>>>
>>> 1. 0 e M
>>> 2. An(n e M -> n+1 e M)
>>>
>> Dann ist also auch der Körper mit zwei Elementen induktiv?
>>
> [bla bla bla]
>
Sorry, Herr Mückenheim, aber Christian Kortes hat hier mit seiner
kritischen Anmerkung absolut recht. B l o ß, ich wollte nicht gleich mit der Tür ins Haus fallen, sondern erst einmal *bestimmte Aspekte* Ihres "Ansatzes" zurecht rücken. D. h. aber nicht, dass man das so stehen lassen kann. (Man kann es in der Tat nämlich nicht.) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Amicus schrieb: > On 18 Jan 2006 01:46:44 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote
> something.
>
>
> Herr M=FCckenheim,
>
> ich habe mir mal ein wenig was zu Ihrem misslungenem Versuch, die
> nat=FCrlichen Zahlen (kurz und b=FCndig) zu charakterisieren, =FCberlegt.
>
> Vielleicht k=F6nnen Sie ja etwas damit anfangen. Wenn nicht, dann lassen
> Sie es eben. :-)
>
Der Versuch war nicht mi=DFlungen. Vielleicht waren die Abk=FCrzung etwas
zu kurz. Jeder sollte aber verstanden haben, da=DF unter M nur solche Mengen gemeint sind, die (1) und (2) erf=FCllen. Nichtsdestotrotz haben Sie nat=FCrlich recht, da=DF die leere Menge Untermenge jeder Menge ist, weshalb ich statt |N c M besser "|N ist Schnitt aller so definierten M" w=E4hlen sollte. Allerdings habe ich kein allgemein g=FCltiges Symbol daf=FCr auf meiner Tastatur. > -----------------------------------------
> Grundeigenschaften der nat=FCrlichen Zahlen
> -----------------------------------------
>
> Als Erstes ben=F6tigen wir eine Definition:
>
> Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
>
> 1. 0 e M
> 2. An(n e M -> n+1 e M)
>
> Wir schreiben im Folgenden kurz
>
> ind(M) ,
>
> falls M eine induktive Menge ist.
>
>
> Es gilt nun f=FCr die Menge IN der nat=FCrlichen Zahlen:
>
> 1. ind(IN)
> 2. AM(ind(M) -> IN c M)
Genau das kann ich mit |N ist der Schnitt aller M auch. >
> In Worten:
>
> 1. IN ist eine induktive Menge.
> 2. IN ist die kleinste induktive Menge
> (d.h. Teilmenge j e d e r ind. Menge).
>
>
> Damit h=E4tten wir die M=FCckenheimschen "Axiome" in eine korrekte (bzw.
> akzeptable) Form gebracht. F=FCr die Menge der nat=FCrlichen Zahlen IN
> gilt:
>
> (1) 0 e IN
> (2) An(n e IN -> n+1 e IN)
Ich schrieb nicht An, weil n offensichtlich eine Variable ist und die Bedingung nicht behauptet, da=DF sie nur f=FCr spezielle Werte gilt. Du m=FC=DFtest sonst auch genauer angeben, woraus die n genommen werden. > (3) AM(ind(M) -> IN c M)
>
Und um die Axiome zu verstehen, mu=DF man |N bereits kennen. Ohne den vorbereitenden Roman hat mandeselben Nachteil wie in der Peanoschen Form. Dort wei=DF man =FCber nat=FCrliche Zahlen buchst=E4blich nichts (au=DFer, da=DF 1 eine ist), und dann soll man pl=F6tzlich jede Menge nat=FCrlicher Zahlen behandeln, kennen, ... Ich bevozuge: (1) 1 e M (2) n e M -> n+1 e M (3) IN ist Schnitt aller M, die (1) nd (2) ef=FCllen. Gru=DF, WM
On 19 Jan 2006 05:25:12 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >>
>> ich habe mir mal ein wenig was zu Ihrem misslungenem Versuch, die
>> natürlichen Zahlen (kurz und bündig) zu charakterisieren, überlegt.
>>
>> Vielleicht können Sie ja etwas damit anfangen. Wenn nicht, dann lassen
>> Sie es eben. :-)
>>
> Der Versuch war nicht mißlungen. Vielleicht waren die Abkürzung etwas
> zu kurz. Jeder sollte aber verstanden haben, daß unter M nur solche
> Mengen gemeint sind, die (1) und (2) erfüllen.
>
Nein, Herr Mückenheim, s o läuft das nicht. In der Mathematik läuft
das so: W e n n unter M nur solche Mengen gemeint sind, die (1) und (2) erfüllen, d a n n schreibt man das auch so hin. >>
>> -----------------------------------------
>> Grundeigenschaften der natürlichen Zahlen
>> -----------------------------------------
>>
>> Als Erstes benötigen wir eine Definition:
>>
>> Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt:
>>
>> 1. 0 e M
>> 2. An(n e M -> n+1 e M)
>>
>> Wir schreiben im Folgenden kurz
>>
>> ind(M) ,
>>
>> falls M eine induktive Menge ist.
>>
>>
>> Es gilt nun für die Menge IN der natürlichen Zahlen:
>>
>> 1. ind(IN)
>> 2. AM(ind(M) -> IN c M)
>
> Genau das kann ich mit IN ist der Schnitt aller M auch.
>
Immer langsam mit den Pferden, Mückenheim. Formalisieren Sie
das erst einmal! >>
>> In Worten:
>>
>> 1. IN ist eine induktive Menge.
>> 2. IN ist die kleinste induktive Menge
>> (d.h. Teilmenge j e d e r ind. Menge).
>>
>>
>> Damit hätten wir die Mückenheimschen "Axiome" in eine korrekte (bzw.
>> akzeptable) Form gebracht. Für die Menge der natürlichen Zahlen IN
>> gilt:
>>
>> (1) 0 e IN
>> (2) An(n e IN -> n+1 e IN)
>
> Ich schrieb nicht An, weil n offensichtlich eine Variable ist und die
> Bedingung nicht behauptet, daß sie nur für spezielle Werte gilt.
>
Ja, das kann man machen. Es ist in der Mathematik in der Tat üblich,
die Allquantifizierung (in solchen Fällen) wegzulassen; Logiker sind da in der Regel etwas genauer. >
> Du müßtest sonst auch genauer angeben, woraus die n genommen werden.
>
Nö.
>>
>> (3) AM(ind(M) -> IN c M)
>>
> Und um die Axiome zu verstehen,
>
HALT - es handelt sich hier nicht um Axiome! Ich dachte, dass das klar
wäre. Ich gebe lediglich gewisse (Grund-)Eigenschaften der natürlichen Zahlen an. (Es handelt sich hier also streng genommen um /Sätze/ über die natürlichen Zahlen.) Tatsächlich "spezifizieren" die Sätze IN sogar sehr genau! Ich wiederhole mich (vermutlich haben sie die Anmerkungen gar nicht mehr gelesen.): ---------------------------- 2. Man kann diese Feststellungen über die natürlichen Zahlen "anschaulich" so interpretieren: (1) ---> IN = {0, ... ?} (2) ---> IN = {0, 1, 2, 3, ... ?} (3) ---> IN =/= {0, 1, 2, 3, ..., w, w+1, ...} In Worten: 0 ist Element von IN, und mit n ist auch n+1 Element von IN, darüber hinaus gibt es aber keine Elemente in IN. Kurz: (1),(2),(3) ---> IN = {0, 1, 2, 3, ...}. ---------------------------- >
> Ich bevozuge:
>
> (1) 1 e M
> (2) n e M -> n+1 e M
> (3) IN ist Schnitt aller M, die (1) und (2) efüllen.
>
Ich wiederhole mich: "WMs Fehler besteht darin, die Definition für den Begriff /induktive Menge/ und die Formulierung der Eigenschaft[en] der Menge IN in éinem System von Aussagen zusammen zu fassen. Das darf (bzw. kann) man natürlich nicht machen." S i e mögen das bevorzugen, Unsinn bleibt es trotzdem. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Thu, 19 Jan 2006 15:36:55 +0100, Amicus <nomail@invalid> wrote:
>>
>> [Mückenheim:]
>>
>> (1) 1 e M
>> (2) n e M -> n+1 e M
>> (3) IN ist Schnitt aller M, die (1) und (2) erfüllen.
>>
> Ich wiederhole mich:
>
> [Dein] Fehler besteht darin, die Definition für den Begriff /induktive
> Menge/ und die Formulierung der Eigenschaft[en] der Menge IN in éinem
> System von Aussagen zusammen zu fassen. Das darf (bzw. kann) man
> natürlich nicht machen.
>
> S i e mögen das bevorzugen, Unsinn bleibt es trotzdem.
>
Lassen Sie uns also das Ganze etwas zurecht rücken: Als Erstes benötigen wir eine _explizite_ Definition: Eine Menge M ist eine /induktive Menge/, wenn gilt: 0 e M & An(n e M -> n+1 e M) (An dieser Stelle wäre noch einiges zu erwähnen bzw. explizit zu formulieren, damit diese Definition auch wirklich _korrekt_ bzw. akzeptabel ist; ich lasse das aber -for the sake of the argument- erst mal bewusst weg. Ich bitte daher die geschätzten Mitlesser für den Augenblick über diesen mathematisch sicherlich sehr bedeutenden Missstand hinwegzusehen. Ich komme später/an anderer Stelle darauf zurück.) Wir schreiben im Folgenden kurz "ind(M)", falls M eine induktive Menge ist. So und n u n können Sie sagen: IN ist Schnitt aller induktiver Mengen. Es gilt dann: 1. ind(IN) 2. AM(ind(M) -> IN c M) bzw. (1) 0 e IN (2) An(n e IN -> n+1 e IN) (3) AM(ind(M) -> IN c M) wie gehabt. Ich wiederhole nochmal: es handelt sich dabei nicht um Axiome (denn dazu taugen diese Aussagen, so wie sie dastehen, nix), sondern lediglich um die kompakte Formulierung einiger Grundeigenschaften der Menge IN. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Rudolf Sponsel schrieb: > Hm, man kann doch nicht genau bekannte unendlich lange Zahlen
> miteinander vergleichen, z.B.:
>
> 3.145145...irgendwie...
> 3.144145...irgendwie...
>
> Man mu=DF nicht wissen wie es weitergeht, um zu sagen, da=DF die erste > =
der
> zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer 'endlichen' Stelle
> unterscheiden.
Wenn sie sich aber erstmals an der Stelle 10^100 uneterscheiden, dann geht es nicht mehr, weil man nicht genug Tinte hat, um beide hinzuschreiben (um zu sehen, da=DF sie weiter vorn =FCbereinstimmen). Gru=DF, WM
"WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote in message news:1137673966.188252.154640@g14g2000cwa.googlegroups.com... Rudolf Sponsel schrieb: > Hm, man kann doch nicht genau bekannte unendlich lange Zahlen
> miteinander vergleichen, z.B.:
>
> 3.145145...irgendwie...
> 3.144145...irgendwie...
>
> Man muß nicht wissen wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste > der
> zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer 'endlichen' Stelle
> unterscheiden.
Wenn sie sich aber erstmals an der Stelle 10^100 uneterscheiden, dann geht es nicht mehr, weil man nicht genug Tinte hat, um beide hinzuschreiben (um zu sehen, daß sie weiter vorn übereinstimmen). Gruß, WM Dann mach ich mir mein Universum wieder größer. Und wenn Du dann die 10^1000 Stelle nimmst, mach ich es wieder größer usw. usw. usw. Aloha, Norbert
On 2006-01-14, Markus Sigg <nomail@infimum.de> wrote:
> In der Tat formulieren Mathematiker, die nicht über formale Sprachen
> und Logik arbeiten, ihre Überlegungen und Beweise nicht in FOPL,
> sondern erlauben sich mehr Freiheit.
In welchem Sinne meinst Du das? Ich gehe bei Beweisen, die ich lese, davon aus, dass sie sich in FOPL übersetzen ließen. Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
Carsten Schultz wrote:
> On 2006-01-14, Markus Sigg <nomail@infimum.de> wrote:
>
>>In der Tat formulieren Mathematiker, die nicht über formale Sprachen
>>und Logik arbeiten, ihre Überlegungen und Beweise nicht in FOPL,
>>sondern erlauben sich mehr Freiheit.
>
>
> In welchem Sinne meinst Du das? Ich gehe bei Beweisen, die ich lese,
> davon aus, dass sie sich in FOPL übersetzen ließen.
Sowie man Quantifizierungen über Teilmengen zuläßt, hat man eine Sprache zweiter Stufe, oder? Wer will in der täglichen Arbeit darauf verzichten? Gruß, Markus
On 2006-01-14, Markus Sigg <nomail@infimum.de> wrote:
> Carsten Schultz wrote:
>
>> On 2006-01-14, Markus Sigg <nomail@infimum.de> wrote:
>>
>>>In der Tat formulieren Mathematiker, die nicht über formale Sprachen
>>>und Logik arbeiten, ihre Überlegungen und Beweise nicht in FOPL,
>>>sondern erlauben sich mehr Freiheit.
>>
>>
>> In welchem Sinne meinst Du das? Ich gehe bei Beweisen, die ich lese,
>> davon aus, dass sie sich in FOPL übersetzen ließen.
>
> Sowie man Quantifizierungen über Teilmengen zuläßt, hat man eine
> Sprache zweiter Stufe, oder? Wer will in der täglichen Arbeit darauf
> verzichten?
Man muss natürlich auch noch sagen, um welche Sprache und Theorie es geht. Ich meinte ZFC. Und da kann ich erststufig über Teilmengen quantifizieren, weil die Elementrelation in der Sprache vorkommt. Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
Ralf Bader schrieb: > Eckard Blumschein wrote:
>
> > On 1/11/2006 8:17 PM, Amicus wrote:
> >> On 11 Jan 2006 08:39:29 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
> >> wrote:
> >>
> >>>>
> >>>> PS: Hat Cantor wirklich gesagt, es g=E4be unendlich gro=DFe nat=FCrl=
iche
> >>>> Zahlen?
> >>>>
> >>> Ja. =DCberendliche ganze Zahlen, aktual unendlich Zahlen etc.
> >>>
> >> M=FCckenheim-Schwachsinn, wie =FCblich.
> >>
> >>
> >> A. A typical A.-evidence by insult.
>
> Blumschein, du bist schon wieder zu bl=F6d, richtig zu quoten. Vor dein
> eigenes Gesabber sollst du kein ">" malen. M=FCckenheim hat die Frage, wo=
es
> bei Cantor "unendlich gro=DFe nat=FCrliche Zahlen" g=E4be, mit einem Zita=
t zu
> beantworten versucht, in dem dummerweise von "nat=FCrlichen Zahlen" nicht=
die
> Rede war. Wenn man schon keine Ahnung hat, worum es eigentlich geht, dann
> sollte man doch wenigstens die W=F6rter "ganz" und "nat=FCrlich" an ihrem
> Schriftbild unterscheiden k=F6nnen.
>
> =DCbrigens, Blumschein, mal was f=FCr dich zum Nachdenken: Von M=FCckenhe=
im haben
> wir ja erfahren, da=DF alles, was wir uns so denken, und was "existiert" =
(was
> auch immer M=FCckeneim darunter versteht) "physikalisch realisiert" (oder
> realisierbar?) sein mu=DF,
Nochmal zum Mitdenken: physikalisch realisiert =3D existent physikalisch realisierbar =3D existenzf=E4hig nicht physikalisch realisierbar =3D nicht existent und nicht existenzf=E4hig. Anmerkungen: 1) "Physikalisch" kann dabei entfallen, denn auf andere Weise ist =FCberhaupt nichts realisierbar. 2) "Existent" bedeutet nicht, da=DF das betreffende Objekt f=FCr all und jeden existiert. Deswegen ist die Existenzfrage grunds=E4tzlich problematisch. Aber =FCber die Nichtexistenzf=E4higkeit m=FC=DFte allgemeiner Konsens bestehen, so da=DF sich die *Erkenntnis* der Nichtexistenzf=E4higkeit gewisser Zahlen, diese Idee selbst also, einer allgemeinen, unter allen denkenden Wesen (wenigstens ab einer gewissen Entwicklungsstufe) im Universum verbreiteten Anerkennung erfreut. Der homo sapiens betritt gerade diese Entwicklungsstufe. > und da=DF es deshalb bereits gewisse l=E4ngliche, aber
> nat=FCrliche Zahlen nicht g=E4be. Da frage ich mich, wie dein bescheuertes
> So=DFenkontinuum dieses idiotische M=FCckenheim-Kriterium erf=FCllen soll.
> Allerdings habe ich keinen Zweifel, da=DF solch erlauchten Koryph=E4en wie
> M=FCckenheim & Blumschein eine Synthese in Form einer noch nie dagewesenen
> Apotheose des Schwachsinns gelingen wird!
Selten so gelacht. Einer intellektuellen Leistung dieser Art geb=FChrt Anerkennung. Ich sehe, ich habe gegen die Malicen dieses titanischen Literaten keine Chance, und gebe auf. (Aber da=DF Cantor seine transfinite Zahlenfolge als "nat=FCrlich, ganz, und real" bezeichnet, was auch mir entfallen war, das hast Du schon noch geschnallt, gell?) Gru=DF, WM
WM wrote:
> Nochmal zum Mitdenken:
> physikalisch realisiert = existent
> physikalisch realisierbar = existenzfähig
> nicht physikalisch realisierbar = nicht existent und nicht
> existenzfähig.
> Anmerkungen:
> 1) "Physikalisch" kann dabei entfallen, denn auf andere Weise ist
> überhaupt nichts realisierbar.
> 2) "Existent" bedeutet nicht, daß das betreffende Objekt für all und
> jeden existiert. Deswegen ist die Existenzfrage grundsätzlich
> problematisch. Aber über die Nichtexistenzfähigkeit müßte
> allgemeiner Konsens bestehen, so daß sich die *Erkenntnis* der
> Nichtexistenzfähigkeit gewisser Zahlen, diese Idee selbst also, einer
> allgemeinen, unter allen denkenden Wesen (wenigstens ab einer gewissen
> Entwicklungsstufe) im Universum verbreiteten Anerkennung erfreut. Der
> homo sapiens betritt gerade diese Entwicklungsstufe.
Diese Klassifizierung ist unvollständig. Ich kann mir schließlich eine andere Welt denken, in der andere Gegenstände real oder realisierbar sind als in unserer. Ich kann mir z.B. eine Welt vorstellen, die rein euklidisch und in alle Richtungen unendlich und mit Himmelskörpern besetzt ist. Diese Welt enthält also unendlich viele Objekte. Tatsächlich kann ich mir so eine Welt sogar leichter vorstellen, als unsere (vermutlich) endliche Welt mit ihrem merkwürdigen, schwer vorstellbaren Rand. Ich glaube, daß auch der nicht mathematisch oder naturwissenschaftlich gebildete Mann von der Straße sich eine unendliche Welt leichter vorstellen kann als eine, die den derzeitigen physikalischen Theorien genügt. Und falls jemand einwirft, daß so eine Welt physikalisch vielleicht nicht stabil sei: Natürlich kann ich mir auch physikalische Gesetze ausdenken, die so eine Welt stabil halten. Gruß, Markus Sigg
Lieber Wolfgang!
WM wrote: > Nochmal zum Mitdenken:
> physikalisch realisiert = existent
> physikalisch realisierbar = existenzfähig
> nicht physikalisch realisierbar = nicht existent und nicht
> existenzfähig.
> Anmerkungen:
> 1) "Physikalisch" kann dabei entfallen, denn auf andere Weise ist
> überhaupt nichts realisierbar.
> 2) "Existent" bedeutet nicht, daß das betreffende Objekt für all und
> jeden existiert. Deswegen ist die Existenzfrage grundsätzlich
> problematisch. Aber über die Nichtexistenzfähigkeit [...]
Wie gehen Sie eigentlich in Ihrem Unterricht mit mathematischen Gegenständen um, die Ihrer Ansicht nach nicht existieren oder sogar nicht existenzfähig sind? Offenbaren Sie Ihren Studenten Ihr physikalistisches Bekenntnis? Wie muss ich mir konkret Ihren Unterricht vorstellen, wenn Sie mit Gegenständen wie Grenzwerten, der Menge der natürlichen Zahlen, pi usw. operieren? F. N. -- xyz
Eckard Blumschein schrieb:
> >> Wer so rigoros denkt h=E4tte auch dem Punkt, der Linie, der Fl=E4che e=
tc.
> >> die Existenz abzusprechen. Warum nicht lieber ein wenig Dialektik?
> >> Zahl und Kontinuum erg=E4nzen sich doch ideal als zwei sich gegenseitig
> >> ausschlie=DFende Welten.
> >
> > Da sollte man schon konsequent bleiben. Cantor hat ja gezeigt wie auch
> > die Begriffe Linie, Fl=E4che und Mehrdimensionalit=E4t bezgl. ihrer
> > Punktemenge aus der Relativierbarkeit herausfallen, wenn man sie als
> > Kontinua betrachtet.
>
> Das Stichwortverzeichnis Fraenkels nennt zum Buchstaben R nur zwei
> Verweise auf Religion und einen auf Rest, keinen auf Relativierbarkeit.
> Passen w=FCrde vielleicht Vergleichbarkeit. Offenbar ist die Religion f=
=FCr
> die Mathematik viel wichtiger. Ich kann mich auch nicht erinnern bei
:-)
> Cantor Relativierbarkeit gelesen zu haben. Hinsichtlich "linearer
> Punktmengen" vergleicht Fraenkel (1923, S. 105) die ML mit einem
> Mikroskop von unendlicher Aufl=F6sung. Auf S. 112 steht folgender Unsinn:
> "Die Bezeichnung 'abgeschlossen' bezieht sich darauf, dass jede einzelne
> L=FCcke in einer Punktmenge durch Hinzuf=FCgen eines Punkts zur Menge
> beseitigt werden kann..."
.=2E.auf dass dann zwei neue L=FCcken entstehen, f=FCr die man jetzt zwei
Punkte zum F=FCllen ben=F6tigt...etc... :-) > Fraenkel hat wie schon Dedekind und gewiss auch Cantor das Wesen des
> Kontinuums nicht verstanden.
>
> > Das zeigt doch, dass auch die Analysis nicht auf
> > dem Kontinuum aufgebaut sein kann, sondern nur auf dem potenziellen
> > Unbegrenzten.
>
> Auch wenn Einf=FChrungen in die Analysis =FCblicherweise mit Definitionen
> von Zahlen beginnen, rechnet die Analysis nie wirklich mit reellen
> Zahlen sondern immer nur mit jenen Aufgaben bzw. Symbolen welche sie
> definieren. Dabei k=F6nnen freilich unl=F6sbare Aufgaben nur als fiktive,
> also als reelle (ich sage transnumerale) Zahl gedacht sein.
> Wenn wohl die meisten B=FCcher behaupten, die arithmetischen Operationen
> sind mit reellen Zahlen stets ausf=FChrbar, dann sind genau genommen nicht
> irrationale "Zahlen" sondern die sie definierenden Aufgaben gemeint.
>
> Man verkn=FCpft die Aufgaben bzw. Symbole also gedanklich im Kontinuum.
> Nur ist dort die numerische Ausf=FChrung nicht m=F6glich sondern erst mit
> den potentiell unbegrenzten rationalen Zahlen.
Dann braucht man das "Kontinuum" aber sowenig, wie in der Physik den
=C4therbegriff. Wo die fiktiven Symbole verkn=FCpft werden, ist doch egal. >
> > Wenn die durch Integration erhaltene Fl=E4che unter einem
> > Kurvenintervall bez=FCglich der Punktemenge "gleichgross" (vollst=E4ndig
> > abbildbar) ist, wie der entsprechende Abszissenabschnitt (oder der
> > zugeh=F6rige Kurvenabschnitt), dann ist das Ergebnis nichtssagend. Ein
> > quantitativ relevantes Ergebnis kann ich auch hierbei nur erhalten,
> > wenn meine "d" im endlichen und damit relativierbaren Rahmen beliebig
> > klein, aber nicht im Sinne eines Kontinuums "aktual unendlich klein"
> > (was immer das sein soll, ausser "0") sein k=F6nnen.
>
> Punktemenge gleichgross? Solche Worte allein deuten doch schon in
> Richtung Cantorschen Widersinns. Fl=E4che, Linie und Volumen sind nicht in
> endlich viele Punkte aufl=F6sbar.
Nicht nur "in Richtung Cantor", das stammt von ihm. Auf diese Weise hat
er ja "bewiesen", dass jedes Intervall des Kontinuums eine Unendlichkeit darstellt, die in ihrer M=E4chtigkeit sich nicht unterscheidet, egal ob sie ein Ausschnitt einer Strecke, einer Fl=E4che, eines Volumens, oder des n-Dimensionalen repr=E4sentiert. Folgerichtig ist ja das Kontinuum zur quantitativen Auszeichnung der Fl=E4che unter einer Kurve gar nicht zu gebrauchen. Aber darauf habe ich in "Hilbert's Hotel" schon hingewiessen: dass es egal ist, =FCber welchen Weg das Unendliche eingef=FChrt wird. Seine Einf=FChrung (als Operand, sollte es pr=E4ziser heissen) stellt einen Quantensprung dar, mit dem die relative Welt verlassen wird. =DCbrigens: Dedekind gratulierte Cantor zu seinem diesbez=FCglichen "Beweis", warnte ihn jedoch in einem Brief davor diese "Entdeckung" zu publizieren: "Ich hoffe mich deutlich genug ausgedr=FCckt zu haben: Die Absicht meines Schreibens besteht nur darin, nicht ohne eine grundliche Pr=FCfung meines Einwandes, gegen die bisher f=FCr wahr gehaltenen Glaubensartikel der Mannigfaltigkeitslehre =F6ffentlich zu polemisieren... " Aus "Die Natur der Unendlichkeit", Amir D. Aczel, rororo polemisieren! Dedekind scheint noch ein Gesp=FCr daf=FCr gehabt zu haben, dass da was faul sein muss, aber die faule Argumentation war auch f=FCr ihn nicht so einfach zu durchschauen... > Peinlich ist es, dass Dedekindschnitte noch immer gelehrt werden.
>=20
> Gruss,
> Eckard
Gruss Peter
Am 13 Jan 2006 12:17:31 -0800 schrieb peter schurr:
>> Punktemenge gleichgross? Solche Worte allein deuten doch schon in
>> Richtung Cantorschen Widersinns. Fläche, Linie und Volumen sind nicht in
>> endlich viele Punkte auflösbar.
> Nicht nur "in Richtung Cantor", das stammt von ihm. Auf diese Weise hat
> er ja "bewiesen", dass jedes Intervall des Kontinuums eine
> Unendlichkeit darstellt, die in ihrer Mächtigkeit sich nicht
> unterscheidet, egal ob sie ein Ausschnitt einer Strecke, einer Fläche,
> eines Volumens, oder des n-Dimensionalen repräsentiert.
Es steht dir frei das Gegenteil zu beweisen. Bis dahin gilt: Zwei Dummköpfe treffen sich und raunen sich Dummheiten zu. -- Mit freundlichen Grüßen Peter Nießen Wer das Konzept der Unendlichkeit verstehen will, muss nur das Ausmass menschlicher Dummheit betrachten. (Voltaire)
Eckard Blumschein schrieb:
> On 1/11/2006 6:43 PM, peter schurr wrote:
> > Eckard Blumschein schrieb:
> > in alle Schuhgr=F6ssen gleichzeitig passt und somit gar keine
> > verbindliche "Gr=F6sse" im Sinne boolscher Relativierbarkeit
>
> Ist boolsche Relativierbarkeit ein =FCblicher, unmissverst=E4ndlicher und=
in
> diesem Fall passender Begriff?
Un=FCblich sicher.
Unmissverst=E4ndlich eher nicht. Da es un=FCblich ist, muss man =FCber seine Bedeutung im Kontext kurz nachdenken. Darin liegt schon eine Quelle des Missverstehens. Passend? Aus meiner Sicht ja, sonst h=E4tte ich ein anderes gew=E4hlt. Ist aber subjektiv. > > darstellen kann. Verbindlich in dem Sinne, dass ein als Zahlwort oder
> > Mengenbegriff benutztes Symbol, nicht hier diese, und im andern Kontext
> > eine andere quantitative Gr=F6sse annehmen kann. Und wenn sich ein
> > solches virtuelles Objekt dann auch noch als vollkommen immun erweist,
> > gegen=FCber den =FCblichen mathematischen Verfahren zur
> > Gr=F6ssenmanipulation, sollte man sich mal fragen, inwieweit man aus der
> > logisch stringenten Welt der Wissenschaft, in das Land der Feen und
> > Zaubersteine entglitten ist.
>
> Folgerung: es gibt keine irrationalen Zahlen?
>
> Wer so rigoros denkt h=E4tte auch dem Punkt, der Linie, der Fl=E4che etc.
> die Existenz abzusprechen. Warum nicht lieber ein wenig Dialektik?
> Zahl und Kontinuum erg=E4nzen sich doch ideal als zwei sich gegenseitig
> ausschlie=DFende Welten.
Da sollte man schon konsequent bleiben. Cantor hat ja gezeigt wie auch die Begriffe Linie, Fl=E4che und Mehrdimensionalit=E4t bezgl. ihrer Punktemenge aus der Relativierbarkeit herausfallen, wenn man sie als Kontinua betrachtet. Das zeigt doch, dass auch die Analysis nicht auf dem Kontinuum aufgebaut sein kann, sondern nur auf dem potenziellen Unbegrenzten. Wenn die durch Integration erhaltene Fl=E4che unter einem Kurvenintervall bez=FCglich der Punktemenge "gleichgross" (vollst=E4ndig abbildbar) ist, wie der entsprechende Abszissenabschnitt (oder der zugeh=F6rige Kurvenabschnitt), dann ist das Ergebnis nichtssagend. Ein quantitativ relevantes Ergebnis kann ich auch hierbei nur erhalten, wenn meine "d" im endlichen und damit relativierbaren Rahmen beliebig klein, aber nicht im Sinne eines Kontinuums "aktual unendlich klein" (was immer das sein soll, ausser "0") sein k=F6nnen. >
> Ganz so unsinnig wie die ML sind gewisse Quellen aus denen der ML
> sch=F6pfte also nicht.
> Gruss, Eckard
Kontinuum, egal ob in der Arithmetik, Analysis, oder sonstwo, IST im quantitativ-relativen Kontext unsinnig. Vielleicht lag hier ja sogar der Grund, warum Cantor dieses vermeintliche Kontinuum weiter untersuchen wollte: Eben weil es in der Infinitesimalrechnung so gute Dienste leistet. Dass es sich aber um eine skalierbare, unbegrenzte, aber diskrete Vielheit handeln muss, statt um ein Kontinuum, ist ihm, wie den Meisten, entgangen. Gruss Peter
On 1/13/2006 5:00 PM, peter schurr wrote:
> Eckard Blumschein schrieb:
>
>> On 1/11/2006 6:43 PM, peter schurr wrote:
>> > Eckard Blumschein schrieb:
>
>> > in alle Schuhgrössen gleichzeitig passt und somit gar keine
>> > verbindliche "Grösse" im Sinne boolscher Relativierbarkeit
>>
>> Ist boolsche Relativierbarkeit ein üblicher, unmissverständlicher und in
>> diesem Fall passender Begriff?
> Unüblich sicher.
> Unmissverständlich eher nicht. Da es unüblich ist, muss man über
> seine Bedeutung im Kontext kurz nachdenken. Darin liegt schon eine
> Quelle des Missverstehens.
> Passend? Aus meiner Sicht ja, sonst hätte ich ein anderes gewählt.
> Ist aber subjektiv.
Ich versuche durchaus wohlwollend den Begriff Relativierbarkeit zu verstehen und vermute er sollausdrücken, dass es möglich ist zwei Zahlen mit einander zu vergleichen und als kleiner, größer oder gleich zuerkennen. Dafür kenne ich den Begriff Trichotomie. Auf der anderen Seite verbindet sich bei mir boolsch mit Algebra, also mit Negationen sowie Und- bzw. Oder-Verknüpfungen. So richtig sehe ich da keine Verbindung. >
>> > darstellen kann. Verbindlich in dem Sinne, dass ein als Zahlwort oder
>> > Mengenbegriff benutztes Symbol, nicht hier diese, und im andern Kontext
>> > eine andere quantitative Grösse annehmen kann. Und wenn sich ein
>> > solches virtuelles Objekt dann auch noch als vollkommen immun erweist,
>> > gegenüber den üblichen mathematischen Verfahren zur
>> > Grössenmanipulation, sollte man sich mal fragen, inwieweit man aus der
>> > logisch stringenten Welt der Wissenschaft, in das Land der Feen und
>> > Zaubersteine entglitten ist.
>>
>> Folgerung: es gibt keine irrationalen Zahlen?
>>
>> Wer so rigoros denkt hätte auch dem Punkt, der Linie, der Fläche etc.
>> die Existenz abzusprechen. Warum nicht lieber ein wenig Dialektik?
>> Zahl und Kontinuum ergänzen sich doch ideal als zwei sich gegenseitig
>> ausschließende Welten.
>
> Da sollte man schon konsequent bleiben. Cantor hat ja gezeigt wie auch
> die Begriffe Linie, Fläche und Mehrdimensionalität bezgl. ihrer
> Punktemenge aus der Relativierbarkeit herausfallen, wenn man sie als
> Kontinua betrachtet.
Das Stichwortverzeichnis Fraenkels nennt zum Buchstaben R nur zwei Verweise auf Religion und einen auf Rest, keinen auf Relativierbarkeit. Passen würde vielleicht Vergleichbarkeit. Offenbar ist die Religion für die Mathematik viel wichtiger. Ich kann mich auch nicht erinnern bei Cantor Relativierbarkeit gelesen zu haben. Hinsichtlich "linearer Punktmengen" vergleicht Fraenkel (1923, S. 105) die ML mit einem Mikroskop von unendlicher Auflösung. Auf S. 112 steht folgender Unsinn: "Die Bezeichnung 'abgeschlossen' bezieht sich darauf, dass jede einzelne Lücke in einer Punktmenge durch Hinzufügen eines Punkts zur Menge beseitigt werden kann..." Fraenkel hat wie schon Dedekind und gewiss auch Cantor das Wesen des Kontinuums nicht verstanden. > Das zeigt doch, dass auch die Analysis nicht auf
> dem Kontinuum aufgebaut sein kann, sondern nur auf dem potenziellen
> Unbegrenzten.
Auch wenn Einführungen in die Analysis üblicherweise mit Definitionen von Zahlen beginnen, rechnet die Analysis nie wirklich mit reellen Zahlen sondern immer nur mit jenen Aufgaben bzw. Symbolen welche sie definieren. Dabei können freilich unlösbare Aufgaben nur als fiktive, also als reelle (ich sage transnumerale) Zahl gedacht sein. Wenn wohl die meisten Bücher behaupten, die arithmetischen Operationen sind mit reellen Zahlen stets ausführbar, dann sind genau genommen nicht irrationale "Zahlen" sondern die sie definierenden Aufgaben gemeint. Man verknüpft die Aufgaben bzw. Symbole also gedanklich im Kontinuum. Nur ist dort die numerische Ausführung nicht möglich sondern erst mit den potentiell unbegrenzten rationalen Zahlen. > Wenn die durch Integration erhaltene Fläche unter einem
> Kurvenintervall bezüglich der Punktemenge "gleichgross" (vollständig
> abbildbar) ist, wie der entsprechende Abszissenabschnitt (oder der
> zugehörige Kurvenabschnitt), dann ist das Ergebnis nichtssagend. Ein
> quantitativ relevantes Ergebnis kann ich auch hierbei nur erhalten,
> wenn meine "d" im endlichen und damit relativierbaren Rahmen beliebig
> klein, aber nicht im Sinne eines Kontinuums "aktual unendlich klein"
> (was immer das sein soll, ausser "0") sein können.
Punktemenge gleichgross? Solche Worte allein deuten doch schon in Richtung Cantorschen Widersinns. Fläche, Linie und Volumen sind nicht in endlich viele Punkte auflösbar. >>
>> Ganz so unsinnig wie die ML sind gewisse Quellen aus denen der ML
>> schöpfte also nicht.
>> Gruss, Eckard
>
> Kontinuum, egal ob in der Arithmetik, Analysis, oder sonstwo, IST im
> quantitativ-relativen Kontext unsinnig.
Ich sage: Es ist scharf von dem Reich richtiger, also diskreter (rationaler) Zahlen zu unterscheiden. > Vielleicht lag hier ja sogar der Grund, warum Cantor dieses
> vermeintliche Kontinuum weiter untersuchen wollte: Eben weil es in der
> Infinitesimalrechnung so gute Dienste leistet. Dass es sich aber um
> eine skalierbare, unbegrenzte, aber diskrete Vielheit handeln muss,
> statt um ein Kontinuum, ist ihm, wie den Meisten, entgangen.
Ja, so ungefähr sehe ich das auch. Man stellte sich die irrationalen "Zahlen" naiverweise wie richtige (rationale) Zahlen vor. Deshalb kam niemand auf die Idee zu fragen ob es überhaupt zulässig war mit rationalen Zahlen und irrationalen "Zahlen" völlig Verschiedenes zu reellen Zahlen zusammenzufassen. Peinlich ist es, dass Dedekindschnitte noch immer gelehrt werden. Gruss, Eckard
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > Sascha M=FCller schrieb:
> > > Es zeugt auch nicht gerade von messerscharfem Schlussfolgern, wenn man
> > > bei unendlicher Elementanzahl von einem "h=F6chsten Resultat" redet.
> > Es zeugt ebensowenig davon, wenn man von einer "vollendeten
> > Unendlichkeit" redet. das ist n=E4mlich die Meinung von "aktual".
> Meine Guete, haben Sie eigentlich nichts besseres zu tun?
Doch, ich h=E4tte ja gern mit Ihnen =FCber Cantors ersten =DCberabz=E4hlbarkeitsbeweis gesprochen. > Sie sollten
> wieder zu Ihrem Binaerbaum zurueckkehren, da war Ihre Argumentation
> naemlich einfach nur falsch.
N=E4mlich an welcher Stelle? > Hier ist es nur noch voellig sinnfreies
> Schwadronieren. Wen auf der weiten Welt interessiert es denn nur fuer
> fuenf Pfennig, ob "oo" nun als "Zahl" oder als "Quantitaet" gemeint
> ist?
Es hat Cantor sein ganzes Leben lang interessiert. Mit Ihrer Einstellung h=E4tte er sich gleich von der Mathematik zur=FCckgezogen. Und es interessiert noch immer jeden, der sein wundersch=F6nes Diagonalargument von 1890 nachvollziehen m=F6chte. Da wird der Zahlcharakter n=E4mlich ben=F6tigt. (Wenn dann die ersten Probleme auftreten, dann trennt man sich. So ist das heutzutage eben.) > Es ist ein einfaches Symbol. Man kann es als ein vorher nicht
> enthaltenes Element zu |N dazutun, und bekommt |N \cup {oo}. Dann kann
> man Addition etc. geeignet definieren.
> Diese ganze "Kritik" ist so eine Art verklemmter Platonismus verquickt
> mit einer hoechst fraglichen Semiotik: Einerseits wird gefordert, die
> Mathematik solle irgendwie "wahr" sein, irgendwelche Ideale nachbilden,
Jeder mathematische Begriff ist selbst eine materielle Realit=E4t (dieses Dreieck) oder eine Abstraktion davon (ein Dreieck) in einem unbedingt materiellen Denkapparat. Ich bezeichne das als Idee. Unter einem Ideal verstehe ich etwas anderes (mathematisch und psychologisch). > und dann wiederum kann sie es nicht recht machen, weil sie dabei sich
> die Freiheit nimmt, gelegentlich mal etwas ueber ABSOLUT KLARE
> Sachverhalte drueberzuwischen und das Wort "Zahl" fuer mehr als einen
> Begriff, der aber aus dem Kontext immer klar ist, zu verwenden. Das
> Verbrechen der Mathematik ist dabei nicht groesser als das der Physik,
> die auch schon mal einen Buchstaben fuer zwei verschiedene Sachen
> verwendet haben soll.
Es geht darum, da=DF zwei nat=FCrliche Zahlen sich um mindestens 1 unterscheiden. Vor und nach Cantor. Und wenn wir unendlich viele Unterschiede von 1 haben, dann ist das eben keine endliche Zahl mehr. Es gibt also keine unendliche Menge endlicher Zahlen. Das ist aber das Fundament der ML. > Viel besser waere es, Sie wuerden Ihren binaeren Baum mal in einem
> kurzen Dokument hinschreiben, dazu einen Beweis, warum daraus
> wasauchimmer folgt, und dann koennen die Leute hier Ihnen sagen, wo der
> Fehler liegt. Das waere doch fuer alle hilfreich. Und zudem waere es
> beinahe schon "echte" Mathematik.
Aber das habe ich doch schon 1000 mal getan! Jedes Pfadb=FCndel kriegt die Kante zugeordet, die es durchl=E4uft. Bei einer Verzweigung wird das angesammelte Kantenverm=F6gen geteilt. Wenn eine vollst=E4ndige Zahl in Cantors Liste existiert, dann existieren auch alle reellen Zahlen aus [0, 1] im Baum. Und im Unendlichen werden aus Padb=FCndeln Pfade, von denen jeder mehr als eine Kante tr=E4gt. Einfacher geht es doch nicht! Gru=DF, WM
WM wrote:
> Das ist doch derselbe Fall wie bei Cantor. Eine mit nat=FCrlichen Zahlen
> numerierte Liste wird niemals enden. Trotzdem akzepiert jeder (fast
> jeder), da=DF man die Diagonalziffer *jeder* Listenzahl =E4ndern kann.
Das ist doch der springende Punkt. Es ist ueberhaupt nicht notwendig,
in Cantors Beweis die unendliche Diagonale konkret anzugeben. Wichtig ist, dass man fuer jede der Zahlen in der Liste sicher sein kann, dass sich die Diagonalzahl an wenigstens einer Stelle von ihr unterscheidet. Damit wird ja nur gezeigt, dass es eben NICHT geht, die reellen Zahlen abzuzaehlen. Sie hingegen versuchen, einen konstruktiven Abzaehlbeweis zu fuehren. Dazu muessten Sie in irgendeiner Form auch noch mitteilen, wie Sie mit der Tatsache, dass es mehr Pfade als Kanten gibt, umgehen wollen. Einfach zu sagen "das ist wie bei Cantor" funktioniert nicht - da stehen ihnen die Quantoren im Wege. Cantor fuer den Nachweis, das es fuer jede abzaehlbare Liste von reellen Zahlen EINE reelle Zahl gibt, die nicht enthalten ist. Sie muessten nachweisen, dass ALLE reellen Zahlen gemeinsam in einer abzaehlbaren Liste aufzufinden sind. > Wenn also *jede* Ziffer der Diagonalzahl in der Liste ist, dann ist
> auch jedes Ziffern=E4quivalent im Baum. Das bedeutet, der Baum enth=E4lt
> die vollst=E4ndigen Pfade. Ihre obige Aussage ist =E4quivalent zu der
> Behauptung, da=DF Cantors Liste niemals zu Ende w=E4re und damit die
> Diagonalzahl niemals vollst=E4ndig als von allen anderen Eintr=E4gen
> verschieden befunden werden k=F6nnte.
Cantors Liste ist nie zu Ende. Das waere ja eine traurige Form von
Abzaehlbarkeit. Hingegen ist die Diagonalzahl von jedem Eintrag verschieden. Sie geben mir die Nummer des Eintrags, an dem sie gleich sein soll, und dann kann ich Ihnen sagen, warum sie dort ungleich ist. Und mehr braucht es nicht. Dass ist das Wesen des Widerspruchsbeweises: Aus dem klassischen Beweis, dass es keine groesste Primzahl gibt, folgt noch kein Primzahlalgorithmus. Es steht Ihnen frei, diese Beweistechnik abzulehnen. Das macht dann aber Cantors Beweis nicht falsch. Und, vor allem, Ihren nicht richtig.
hbdere schrieb: > WM wrote:
> > > Die Argumentation
> > > ist falsch, die Intuition geht in die richtige Richtung.
> > Da bin ich aber gspannt. Es bedarf einer Intuition. Ohne eigene Kante
> > kann kein Pfadb=FCndel von einem anderen abzweigen. Tut es dasaber icht,
> > so braucht man es auch nicht zu z=E4hlen.
> Was soll das denn jetzt wieder heissen? Ein Pfadbuendel (sagen wir
> besser eine Menge von Pfaden) trennt sich von einer anderen solchen
> Menge immer an einer Kante. Das heisst aber nicht, dass die Menge der
> Pfade, die ueber eine Kante laufen, jemals auch nur endlich wuerde
Das ist doch derselbe Fall wie bei Cantor. Eine mit nat=FCrlichen Zahlen numerierte Liste wird niemals enden. Trotzdem akzepiert jeder (fast jeder), da=DF man die Diagonalziffer *jeder* Listenzahl =E4ndern kann. Wenn also *jede* Ziffer der Diagonalzahl in der Liste ist, dann ist auch jedes Ziffern=E4quivalent im Baum. Das bedeutet, der Baum enth=E4lt die vollst=E4ndigen Pfade. Ihre obige Aussage ist =E4quivalent zu der Behauptung, da=DF Cantors Liste niemals zu Ende w=E4re und damit die Diagonalzahl niemals vollst=E4ndig als von allen anderen Eintr=E4gen verschieden befunden werden k=F6nnte. > (denn aus der Wurzel gehen ja unendliche Pfadmengen hinaus - wo wuerden
> die denn nun konkret endlich?
Wo ist denn nun Cantors Ziel konkret erreicht, alle Ziffern ge=E4ndert zu haben? > Aber dieses Argument war falsch. Richtig
> ist, dass ueber jede Kante unendlich viele Pfade gehen
Richtig ist, da=DF in Cantors Liste, soweit man auch z=E4hlt, immer noch unendlich viele Zeilen kommen. Es gibt kein konkretes Ende. Ebensowenig gibt es das im Baum. Aber es ist klar: Jeder Abweig verl=E4uft =FCber ein Kante. Jede existierende Pfadmenge kann nur =FCber eine Kante diese Separation schaffen. Gru=DF, WM
Carsten Schultz schrieb: > > Du benutzt Sie auch nicht im mathematischen Sinne (sonst h=E4ttest Du
> > erkennen m=FCssen, da=DF es im bin=E4ren Baum mehr Kanten als Pfade gib=
t,
> > nachdem Dein Einwand "immer nach links" gescheitert war; das ist
> > n=E4mlich ein mathematisches Argument per se),
>
> H=F6r doch bitte mit diesem Unfug auf.
>
> > sondern in einem Sinne,
> > der sich in den letzten hundert Jahren zur Mathematik aufgeworfen hat.
> > Wenn die meisten Mathematiker gegenw=E4rtig leben, so bedeutet das
> > nicht, da=DF sie recht haben. Die Wahrheit ist keine Frage von
> > Demokratie. Und guter Geschmack ist eher eine Sache von Minderheiten
> > (A. Everding).
>
> Auh die Mathematiker der Vergangenheit h=E4tten die Fehlerhaftigkeit all
> Deiner Argumente bemerkt.
Dann h=E4tten Sie aber den Fehler sicherlich bezeichnet k=F6nnen. Und es gibt Mathematiker der Gegenwart, die voll hinter meinem Argument (rational-bin=E4rer Baum) stehen. Ob die alle so viel unschlauer sind als Du? Wer hat da wohl recht? >
> >> Wo nimmt man es denn nicht so genau?
> >
> > Bei der Bedingung eps > 0 beliebig klein.
> > Es gibt keine Folgenglieder a_n mehr mit |pi - a_n| < 1/2^10^100
>
> `Genau' hei=DFt, dass man sich genau an die vereinbarten Regeln h=E4lt.
> Du hast andere (die sich wahrscheinlich nicht einmal konsistent
> formulieren lassen) und benutzt trotzdem die gleichen Worte. Gleiches
> Problem wie oben.
>
Nein, ich benutze genau die allgemein anerkannte Regel: F=FCr beliebig
kleines Epsilon 0: "... wenn es zu jedem eps > 0 eine Zahl n_0 gibt, .=2E. ". Das findest Du in fast genau demselben Wortlaut in jedem Analysis-I-Buch (au=DFer den ersten von l'Hopital und Zeitgenossen nat=FCrlich). Gru=DF, WM
On 2006-01-13, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
>
> Carsten Schultz schrieb:
>> Auh die Mathematiker der Vergangenheit hätten die Fehlerhaftigkeit all
>> Deiner Argumente bemerkt.
>
> Dann hätten Sie aber den Fehler sicherlich bezeichnet können.
Das tun hier auch die ganze Zeit alle. > Und es gibt Mathematiker der Gegenwart, die voll hinter meinem Argument
> (rational-binärer Baum) stehen.
Das bezweifle ich. >> >> Wo nimmt man es denn nicht so genau?
>> >
>> > Bei der Bedingung eps > 0 beliebig klein.
>> > Es gibt keine Folgenglieder a_n mehr mit |pi - a_n| < 1/2^10^100
>>
>> `Genau' heißt, dass man sich genau an die vereinbarten Regeln hält.
>> Du hast andere (die sich wahrscheinlich nicht einmal konsistent
>> formulieren lassen) und benutzt trotzdem die gleichen Worte. Gleiches
>> Problem wie oben.
>>
> Nein, ich benutze genau die allgemein anerkannte Regel: Für beliebig
> kleines Epsilon 0: "... wenn es zu jedem eps > 0 eine Zahl n_0 gibt,
> ... ". Das findest Du in fast genau demselben Wortlaut in jedem
> Analysis-I-Buch (außer den ersten von l'Hopital und Zeitgenossen
> natürlich).
Ich meinte den Teil, in dem Du meinst, an 2^{-10^100} wäre irgend etwas besonderes. Gruß, Carsten -- Carsten Schultz (2:38, 33:47) http://carsten.codimi.de/ PGP/GPG key on the pgp.net key servers, fingerprint on my home page.
On Fri, 13 Jan 2006 16:25:08 +0000 (UTC), Carsten Schultz
<carsten@codimi.de> wrote: >>
>> ... es gibt Mathematiker der Gegenwart, die voll hinter meinem Argument
>> (rational-binärer Baum) stehen.
>>
Ok. Eine Existenzaussage. Wo bleibt denn der Beweis dafür? (Oder ist
das ein Mückeneheimsches Axiom: "Es g i b t Mathematiker, die ...") A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM schreibt:
>Dann hätten Sie aber den Fehler sicherlich bezeichnet können.
>Und es gibt Mathematiker der Gegenwart, die voll hinter meinem Argument
>(rational-binärer Baum) stehen. Ob die alle so viel unschlauer sind
>als Du? Wer hat da wohl recht?
Die sollen sich hier mal melden. Nach spätestens 5 Minuten werden die einsehen ,daß sie blödsinn reden. Noch etwas zum Grübeln für Sie. Der binäre Baum der rationalen Zahlen ist was die Ecken und Kanten anbelangt identisch zum Baum aller reelen Zahlen. Der Baum also als solcher ist identisch. Der unterschied liegt nur in der Pfadmenge. Die Pfadmenge der rationalen Zahlen ist abzählbar und die Pfadmenge der reelen Zahlen ist überabzählbar. Und jetzt scharf nachdenken und nicht Müll reden. K.R.
Markus Sigg schrieb: > Gut. Dann wissen wir also, da=DF die nat=FCrlichen Zahlen durch die Sprac=
he
> der Arithmetik nicht vollst=E4ndig beschrieben sind,
Hoppla, das ist aber ganz sch=F6n anma=DFend. Durch die Sprache der Arithmetik werden die nat=FCrlichen Zahlen nat=FCrlich vollst=E4ndig beschrieben. Mach einen Strich, mach noch einen Strich, usw., also z.B. nach Lorenzens Methode. Oder 1 e M, n e M =3D=3D> (n+1) e M AM: |N c M. Das sind Beispiele in der Sprache der Arithmetik. ("+1" versteht ein jeder, der dies lesen und irgend etwas mit den Symbolen anfangen kann.) Der Versuch, die nat=FCrlichen Zahlen in FOPL eindeutig zu beschreiben, mi=DFlingt dagegen. Daher ist FPL nicht zur Verst=E4ndigung =FCber mathematische Probleme geeignet. > sondern da=DF es neben
> dem Standardmodell ("nat=FCrliche Zahlen") auch weitere, hierzu nicht
> isomorphe Modelle gibt. Wo ist Ihr Problem? Mein Problem ist, da=DF Sie
> oben im Thread "nat=FCrliche Zahlen" sagen, aber nicht die nat=FCrlichen
> Zahlen meinen.
Sie konzedieren, da=DF FOPL die nat=FCrlichen Zahlen nicht eindeutig fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten FOPL sogar f=FCr "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn dann =FCberhaupt, was die standard-nat=FCrlichen-Zahlen sind? Wie unterscheiden Sie recht und unrecht? > In abz=E4hlbaren Modellen f=FCr "im Kern =FCberabz=E4hlbare Theorien"
> (k=F6nnen Sie diesen Ausdruck pr=E4zisieren, vor allem das "im Kern"?)
Damit m=F6chte ich in poetischer Spache ausdr=FCcken, da=DF diese Theorie (die transfinite ML) mit der =DCberabz=E4hlbarkeit steht und f=E4llt. (Mit dem Kern einer Abbildung oder Integraltransformation hatte das also nichts zu tun.) > sehe
> ich hingegen kein Problem.
Das h=E4tte ich auch nicht anders erwartet! K=F6nnten Sie mal eben Ihr abz=E4hlbares Lieblingsmodell posten, das alle ZF-Axiome erf=FCllt? (Ich sammle n=E4mlich solche Modelle in meiner privaten leeren Menge) Gru=DF, WM
Rudolf Sponsel schrieb: > Hm - bei mir d=E4mmert ein AHA-Erlebnis - f=FCr die irrationalen Zahlen
> k=F6nnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das auch
> EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht beliebig genau
> vergleichen.
>
> Wie steht es mit einem Rettungsversuch, auf Trichotomie teilweise zu
> verzichten?
Teilweise tot, schwanger? "Ungef=E4hr gr=F6=DFer oder vielleicht auch kleiner" ist eine Aussage =FCber Ideen oder fliegende Untertassen. Fuzzy. >
> Wieso die Trichotomie nicht f=FCr rationale Zahlen gelten soll, verstehe
> ich nicht.
P und P' *sind* rationale Zahlen. (Abgeschnittene Irrationalzahlen sind Rationalzahlen.) Wenn aber die Ziffernzahl > 10^100, dann fehlt es an Tinte im Universum. Gru=DF, WM
Amicus schrieb: > On Mon, 16 Jan 2006 16:49:10 +0100, Christian Kortes
> <kortes@uni-muenster.de> wrote:
>
> >>>>
> >>>> 1 e M (1)
> >>>> n e M =3D=3D> n+1 e M (2)
> >>>> AM: |N c M (3)
> >>>>
> > Hm, dann hat IN h=F6chstens zwei Elemente, denn der K=F6rper
> > IF_2 erf=FCllt deine Axiome:
> >
> > 1 e IF_2
> > n e IF_2 =3D=3D> n+1 e {0,1} =3D IF_2.
> >
>
> Aus (3) allerdings, dass IN Teilmenge j e d e r Menge ist.
Diese Aussage ist ebenso falsch und widersprechend, wie etwa der Satz 1 + 1 =3D 0 oder ein viereckiger Kreis. (frei nach G. Cantor in einem Brief an Veronese)=20 Gru=DF, WM
On 17 Jan 2006 05:55:21 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: (1) "1 e M (2) n e M ==> n+1 e M (3) AM: IN c M " (Wolfgang Mückenheim) >>
>> (3) [besagt] allerdings, dass IN Teilmenge j e d e r Menge ist.
>>
> Diese Aussage ist ebenso falsch und widersprechend, wie etwa der Satz
> 1 + 1 = 0 oder ein viereckiger Kreis.
>
Wie meinen, Herr Mückenheim? Aber d a s ist doch _genau_ die Aussage
von (3): Für alle M: IN ist Teilmenge von M. Oder wie würden S i e (3) übersetzen? A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>>Gut. Dann wissen wir also, daß die natürlichen Zahlen durch die Sprache
>>der Arithmetik nicht vollständig beschrieben sind,
>
>
> Hoppla, das ist aber ganz schön anmaßend. Durch die Sprache der
> Arithmetik werden die natürlichen Zahlen natürlich vollständig
> beschrieben. Mach einen Strich, mach noch einen Strich, usw., also z.B.
Nein, das ist nicht die Sprache der Arithmetik. Sie verwechseln da etwas. Schauen Sie in irgendein Buch über Logik unter "Arithmetik", "Sprache der Arithmetik" oder "Language of Arithmetic". Etwa Boolos/Jeffrey in Kapitel 14. Kein Wunder, daß Herr Thumser es aufgegeben hat, Ihnen zu helfen. > Der Versuch, die natürlichen Zahlen in FOPL eindeutig zu beschreiben,
> mißlingt dagegen. Daher ist FPL nicht zur Verständigung über
> mathematische Probleme geeignet.
Sie ist nicht zur Verständigung über alle mathematischen Probleme geeignet. Na und? > Sie konzedieren, daß FOPL die natürlichen Zahlen nicht eindeutig
> fassen kann. Sie wollen die Mathematik allein auf FOPL aufbauen, halten
> FOPL sogar für "die" Sprache der Arithmetik. Woher wissen Sie denn
Nein, das will ich nicht. Wie kommen Sie denn darauf? > Könnten Sie mal eben Ihr abzählbares Lieblingsmodell posten, das alle
> ZF-Axiome erfüllt? (Ich sammle nämlich solche Modelle in meiner
> privaten leeren Menge)
Da wird Ihre Privatsammlung weiterhin so leer bleiben wie die Menge Ihrer mathematischen Einsichten. Wieso sollte ich ein Lieblingsmodell haben? Nicht mal wenn ich ein Logiker oder Modelltheoretiker wäre, müßte ich ein Lieblingsmodell haben, sondern würde mich im Gegenteil der Untersuchung verschiedenster Modelle widmen. Gruß, Markus Sigg
Rudolf Sponsel schrieb: > > JA! JA! JA! MIT UNENDLICH LANGEN ZEICHENKETTEN KANN MAN NICHT DIREKT
> > OPERIEREN! Was f=FCr eine beeindruckende Entdeckung!!11111111!!!!!!!!!
> >
Und man kann auch nicht alle Ziffern zweier solcher Zahlen
unterscheiden, nicht einmal 10^100. Und *das* wu=DFten Cantor und Zeitgenossen noch nicht > Tut mir leid, aber der Groschen hat mir in der Tat sehr lange gedauert.
> Ich w=FCrde aber nicht so weit gehen, deshalb zu sagen, das sind keine
> Zahlen. Und ich verstehe den darum gerankten Popanz auch nicht.
Es w=E4re mir doch auch total egal, ob man das "Zahlen" nennt oder nicht, wenn man nicht ann=E4hme, da=DF man bei Zahlen unendlich viele oder wenigstens beliebig viele Stellen miteinander vergleichen kann. (Cantors Liste!) Gru=DF, WM
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>
>>>JA! JA! JA! MIT UNENDLICH LANGEN ZEICHENKETTEN KANN MAN NICHT DIREKT
>>>OPERIEREN! Was für eine beeindruckende Entdeckung!!11111111!!!!!!!!!
>>>
>
> Und man kann auch nicht alle Ziffern zweier solcher Zahlen
> unterscheiden, nicht einmal 10^100. Und *das* wußten Cantor und
> Zeitgenossen noch nicht
>
>
>>Tut mir leid, aber der Groschen hat mir in der Tat sehr lange gedauert.
>>Ich würde aber nicht so weit gehen, deshalb zu sagen, das sind keine
>>Zahlen. Und ich verstehe den darum gerankten Popanz auch nicht.
>
>
> Es wäre mir doch auch total egal, ob man das "Zahlen" nennt oder
> nicht, wenn man nicht annähme, daß man bei Zahlen unendlich viele
> oder wenigstens beliebig viele Stellen miteinander vergleichen kann.
> (Cantors Liste!)
>
> Gruß, WM
>
Hm, man kann doch nicht genau bekannte unendlich lange Zahlen
miteinander vergleichen, z.B.: 3.145145...irgendwie... 3.144145...irgendwie... Man muß nicht wissen wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste > der zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer 'endlichen' Stelle unterscheiden. Rudolf Sponsel, Erlangen
On Thu, 19 Jan 2006 13:26:03 +0100, Rudolf Sponsel
<rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote: >
> Hm, man kann doch nicht genau bekannte unendlich lange Zahlen
> miteinander vergleichen, z.B.:
>
> 3.145145...irgendwie...
> 3.144145...irgendwie...
>
> Man muß nicht wissen wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste > der
> zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer 'endlichen' Stelle
> unterscheiden.
>
Nicht schlecht, Sponsel. Dass entspricht nun mal *wirklich* der
üblichen (d.i. klassischen) mathematischen Denkweise! :-) Nun könnte man aber eben als Konstruktivist/Finitist einwenden, dass Du hier eine inakzeptable Behauptung aufstellst, weil Du etwas über _unendlich_ lange Zahlen sagst, die es ja vielleicht noch nicht einmal g i b t (in welchem Sinne auch immer). Daher finde ich folgende Argumentation n o c h besser (wobei hier immer vorausgesetzt wird, dass es aktual Unendliches nicht gibt): >
> Hm, man kann doch auch /nicht genau bekannte/ Zahlen miteinander
> vergleichen, z.B.:
>
> 3.145145...irgendwie.
> 3.144145...irgendwie.
>
> Man muß nicht w i s s e n, wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste >
> der zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer Stelle unterscheiden.
>
Der klassische Mathematiker "extrapoliert" diese Überlegung sozusagen auch auf unendlich lange "Zahlen" (Zifferfolgen). A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Amicus schrieb:
> On Thu, 19 Jan 2006 13:26:03 +0100, Rudolf Sponsel
> <rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote:
>
>
>>Hm, man kann doch nicht genau bekannte unendlich lange Zahlen
>>miteinander vergleichen, z.B.:
>>
>>3.145145...irgendwie...
>>3.144145...irgendwie...
>>
>>Man muß nicht wissen wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste > der
>>zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer 'endlichen' Stelle
>>unterscheiden.
>>
>
> Nicht schlecht, Sponsel. Dass entspricht nun mal *wirklich* der
> üblichen (d.i. klassischen) mathematischen Denkweise! :-)
>
Es fehlt noch: "entsprechend unterscheiden."
>
> Nun könnte man aber eben als Konstruktivist/Finitist einwenden, dass
> Du hier eine inakzeptable Behauptung aufstellst, weil Du etwas über
> _unendlich_ lange Zahlen sagst, die es ja vielleicht noch nicht einmal
> g i b t (in welchem Sinne auch immer).
>
Ich dachte, es wäre unumstritten, daß es unendlich lange - irrationale -
Zahlen gibt. Man kann sie nur nicht hinschreiben. > Daher finde ich folgende Argumentation n o c h besser (wobei hier
> immer vorausgesetzt wird, dass es aktual Unendliches nicht gibt):
>
>
>>Hm, man kann doch auch /nicht genau bekannte/ Zahlen miteinander
>>vergleichen, z.B.:
>>
>>3.145145...irgendwie.
>>3.144145...irgendwie.
>>
>>Man muß nicht w i s s e n, wie es weitergeht, um zu sagen, daß die erste >
>>der zweiten ist, also immer dann, wenn sie sich an einer Stelle unterscheiden.
>>
>
>
> Der klassische Mathematiker "extrapoliert" diese Überlegung sozusagen
> auch auf unendlich lange "Zahlen" (Zifferfolgen).
>
Das bleibt dunkel.
>
> A.
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
WM wrote:
> Sascha M=FCller schrieb:
> > Es zeugt auch nicht gerade von messerscharfem Schlussfolgern, wenn man
> > bei unendlicher Elementanzahl von einem "h=F6chsten Resultat" redet.
> Es zeugt ebensowenig davon, wenn man von einer "vollendeten
> Unendlichkeit" redet. das ist n=E4mlich die Meinung von "aktual".
Meine Guete, haben Sie eigentlich nichts besseres zu tun? Sie sollten
wieder zu Ihrem Binaerbaum zurueckkehren, da war Ihre Argumentation naemlich einfach nur falsch. Hier ist es nur noch voellig sinnfreies Schwadronieren. Wen auf der weiten Welt interessiert es denn nur fuer fuenf Pfennig, ob "oo" nun als "Zahl" oder als "Quantitaet" gemeint ist? Es ist ein einfaches Symbol. Man kann es als ein vorher nicht enthaltenes Element zu |N dazutun, und bekommt |N \cup {oo}. Dann kann man Addition etc. geeignet definieren. Diese ganze "Kritik" ist so eine Art verklemmter Platonismus verquickt mit einer hoechst fraglichen Semiotik: Einerseits wird gefordert, die Mathematik solle irgendwie "wahr" sein, irgendwelche Ideale nachbilden, und dann wiederum kann sie es nicht recht machen, weil sie dabei sich die Freiheit nimmt, gelegentlich mal etwas ueber ABSOLUT KLARE Sachverhalte drueberzuwischen und das Wort "Zahl" fuer mehr als einen Begriff, der aber aus dem Kontext immer klar ist, zu verwenden. Das Verbrechen der Mathematik ist dabei nicht groesser als das der Physik, die auch schon mal einen Buchstaben fuer zwei verschiedene Sachen verwendet haben soll. Viel besser waere es, Sie wuerden Ihren binaeren Baum mal in einem kurzen Dokument hinschreiben, dazu einen Beweis, warum daraus wasauchimmer folgt, und dann koennen die Leute hier Ihnen sagen, wo der Fehler liegt. Das waere doch fuer alle hilfreich. Und zudem waere es beinahe schon "echte" Mathematik.
Markus Sigg schrieb: > > Ordnen wir im bin=E4ren Baum
> >
> > 0,
> > | \
> > 0 1
> > | \ | \
> > ...
> >
> > jedem Pfadb=FCndel die beim Abzweigen durchlaufene Kante zu (und
> > halbieren die
> > vorher diesem und dem abzweigenden Pfadb=FCndel gemeinsam zugeordneten
> > Kanten), so erhalten wir einen Beweis daf=FCr, da=DF jeder
> > Bin=E4rdarstellung einer reellen Zahl aus [0,1] mindestens eine der
> > abz=E4hlbar vielen Kanten zugeordnet wird. (Handele es sich dabei um ein
> Ich verfolge dieses Kasperletheater erst seit kurzem,
Ihrer Diktion nach zu urteilen, sind sie jedenfalls sehr anpassungsf=E4hig. > bin aber sicher,
> da=DF Sie auf folgenden Umstand schon mehrfach hingewiesen worden sind:
>
> Sie hantieren hier mit Begriffen, die Sie nicht mathematisch definiert
> haben. Es sind daher keine mathematischen Begriffe, sondern M=FCckenheim-
> Begriffe unklarer Bedeutung. Wenn Sie beim Rumspielen mit diesen Begriffen
> auf Absurdit=E4ten sto=DFen, dann haben Sie keinen Fehler in der Mathemat=
ik
> gefunden, sondern einen Fehler im M=FCckenheim-System.
Der Baum ist eine =FCbliche mathematische und deswegen durchaus nicht erl=E4uterungsbed=FCrftige Struktur. Aber selbst wenn ich erstmals auf diese Idee gekommen w=E4re, so k=F6nnte sie jeder Oberrealsch=FCler ohne Probleme nachvollziehen. Gru=DF, WM
Markus Sigg schrieb: > Unverst=E4ndliches Geblubber.
Wenn das h=E4ufiger auftritt, sollte Sie die Trennsch=E4rfe Ihrer Rezeptoren =FCberpr=FCfen und ggf. neu justieren lassen. Geht der Fehler aber auf die CPU zur=FCck, dann hilft meistens nur ein Austausch. Gru=DF, WM
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>
>>Unverständliches Geblubber.
>
>
> Wenn das häufiger auftritt, sollte Sie die Trennschärfe Ihrer
> Rezeptoren überprüfen und ggf. neu justieren lassen. Geht der Fehler
> aber auf die CPU zurück, dann hilft meistens nur ein Austausch.
>
> Gruß, WM
Und wo ist Ihre surjektive Abbildung? Gruß, Markus Sigg
Rudolf Sponsel schrieb: > Es f=E4llt mir schwer, dem 'ewigen' hin und her zu folgen und w=FCnsche m=
ir,
> obschon Weihnachten schon vorbei ist, eine kurze und pr=E4ganante
> Darstellung des Gedanken- oder Beweisganges.
Die ersten Pfadb=FCndel bis zur Ebene n =3D 1 sind Repr=E4sentanten der Bin=E4rzahlintervalle 0,0 bis 0,0111... =3D 0,1 und 0,1 bis 0,111. Die Bin=E4rzahl 0,1 wird also durch zwei Pfade repr=E4sentiert, 0,0111... und 0,1. Die Bin=E4rzahl 1 wird nur durch den Pfad 0,111... repr=E4sentiert, weil 1,0 nicht zum Baum geh=F6rt (die erste Ziffer ist immer 0). Ebene 0 0, / \ 1 0 1 Ich gebe nicht nur die Knoten an, sondern bezeichne sie gleich mit Bits 0 oder 1. Die Verbindungen zwischen zwei Knoten benachbarter Ebenen hei=DFen Kanten. Auf Ebene n =3D 2 haben sich die beiden Pfadb=FCndel in jeweils zwei, also insgesmt vier verzweigt. 0 0, / \ 1 0 1 / \ / \ 2 0 1 0 1 Sie repr=E4sentieren die Bin=E4rzahlintervalle 0 bis 0,00111 0,01 bis 0,0111... 0,1 bis 0,10111.... 0,11 bis 0,111.. Der Inhalt (die L=E4nge) eines Intervalls ist 1/^n, weil das Gesamte Intervall den Inhalt 1 besitzt und bis zur Ebene n genau 2^n Pfadb=FCndel existieren. F=FCr n --> oo ist der Inhalt 1/2^omega =3D 0. Aus den Intervallen sind Pfade geworden. Man kann sagen: Zwei Parallelen schneiden sich nie oder sie schneiden sich erst im Unendlichen. Aus Pfadb=FCndeln werden niemals Pfade oder werden im erst im Unendlichen Pfade. Nun, das Rechnen mit dem Unendlichen wurde ja nicht erst von Cantor gelehrt. Die Zahl der Kanten bis zur Ebene n ist 2^(n+1) - 2. Die Zahl der Pfadb=FCndel ist zur Ebene n ist 2^n. Der Quotient aus Kantenzahl und Pfadb=FCndelzahl konvergiert gegen 2. Die Zahl der Kanten ist abz=E4hlbar. Ziehe Deine Schl=FCsse. Gru=DF, WM
On 25 Jan 2006 04:06:51 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> [...] das Rechnen mit dem Unendlichen wurde ja nicht erst
> von Cantor gelehrt.
>
Doch, das Rechnen mit /aktual/ Unendlichem schon.
A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>
>
>
>>Es fällt mir schwer, dem 'ewigen' hin und her zu folgen und wünsche mir,
>>obschon Weihnachten schon vorbei ist, eine kurze und präganante
>>Darstellung des Gedanken- oder Beweisganges.
>
>
> Die ersten Pfadbündel bis zur Ebene n = 1 sind Repräsentanten der
... Ich sag mal zwischendurch danke (auch allen andern), bin im Moment beruflich aber so unter Druck, daß ich mich ca. ein Woche ziemlich zurückhalten muß (ich hoffe, ich kann; hätte nicht gedacht, daß in Mathegeschichten so viel 'Suchtpotential' steckt - wieder was gelernt, was gar nicht beabsichtigt war). ... >
> Gruß, WM
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Markus Sigg schrieb: > Eben war noch von (unendlichen) Pfaden die Rede. Den Begriff
> "Pfadb=FCndel" m=FCssen Sie erst definieren. Anschlie=DFend erkl=E4ren
> Sie mir, wie Sie darauf auf die Pfade schlie=DFen.
Schauen Sie meine Antwort an RS an. Dort erkl=E4re ich alles noch einmal so genau, da=DF selbst Sie es verstehen k=F6nnen sollten.=20 Gru=DF, WM
Andreas Homrighausen schrieb: > Amicus wrote:
>
> > >>
> > >> Nat=FCrlich existieren deine "Pfade" im ganzen unendlichen
> > >> Baum, nur w=FCrde ich lieber von unendlichen Knotenfolgen
> > >> sprechen wollen.
> > >>
> > Ein etwas sonderbarer Wunsch.
> >
> > >
> > > Wir haben uns hier in dsm auf "Pfad" geeinigt. Ich f=FCrchte, eine
> > > Umbenennung w=FCrde vielen das Verst=E4ndnis noch mehr erschweren.
> > >
> > In der Tat. Vor allem, wo es doch durchaus =FCblich ist, im Zusammenhang
> > mit /unendlichen/ B=E4umen von /unendlichen/ Pfaden zu sprechen.
>
> *g*
> Wollte doch nur darauf hinweisen,
> dass in der Diskussion Pfad mit unterschiedlichen Semantiken
> gebraucht wird: Einmal ist es eine endliche Knotenfolge eines
> unendlichen Baums, ein anderes mal eine unendliche
> Knotenfolge. Das ist unsauber ;-))
Der falsche Gebrauch stammt von Leuten, die den unendlichen bin=E4ren Baum noch nicht verstanden hatten. Ich hoffe, da=DF das nun abschlie=DFend gekl=E4rt ist. Gru=DF, WM
On 18 Jan 2006 05:23:29 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> [ein binärer] Baum ist eine übliche mathematische und deswegen
> durchaus nicht erläuterungsbedürftige Struktur.
>
Das trifft vermutlich zu, wenn Leute über dieses Thema sprechen, die
über eine gewisse mathematische Bildung verfügen. Leider ist das bei Ihnen nicht der Fall. Deshalb besteht die Forderung AN SIE zu recht. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>
>>>Ordnen wir im binären Baum
>>>
>>>0,
>>>| \
>>>0 1
>>>| \ | \
>>>...
>>>
>>>jedem Pfadbündel die beim Abzweigen durchlaufene Kante zu (und
>>>halbieren die
>>>vorher diesem und dem abzweigenden Pfadbündel gemeinsam zugeordneten
>>>Kanten), so erhalten wir einen Beweis dafür, daß jeder
>>>Binärdarstellung einer reellen Zahl aus [0,1] mindestens eine der
>>>abzählbar vielen Kanten zugeordnet wird. (Handele es sich dabei um ein
>
>
>>Ich verfolge dieses Kasperletheater erst seit kurzem,
>
>
> Ihrer Diktion nach zu urteilen, sind sie jedenfalls sehr
> anpassungsfähig.
>
>
>>bin aber sicher,
>>daß Sie auf folgenden Umstand schon mehrfach hingewiesen worden sind:
>>
>>Sie hantieren hier mit Begriffen, die Sie nicht mathematisch definiert
>>haben. Es sind daher keine mathematischen Begriffe, sondern Mückenheim-
>>Begriffe unklarer Bedeutung. Wenn Sie beim Rumspielen mit diesen Begriffen
>>auf Absurditäten stoßen, dann haben Sie keinen Fehler in der Mathematik
>>gefunden, sondern einen Fehler im Mückenheim-System.
>
>
> Der Baum ist eine übliche mathematische und deswegen durchaus nicht
> erläuterungsbedürftige Struktur. Aber selbst wenn ich erstmals auf
> diese Idee gekommen wäre, so könnte sie jeder Oberrealschüler ohne
> Probleme nachvollziehen.
Jeder Oberrealschüler kann sehen, daß Ihre undefinierten und uneinheitlich benutzten Begriffe ("Pfad", "Pfadbündel", "letzte Kante") faul sind. Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach! Gruß, Markus Sigg
Christopher Creutzig schrieb: > Rudolf Sponsel wrote:
>
> > Es f=E4llt mir schwer, dem 'ewigen' hin und her zu folgen und w=FCnsche=
mir,
> > obschon Weihnachten schon vorbei ist, eine kurze und pr=E4ganante
> > Darstellung des Gedanken- oder Beweisganges. Vorab w=E4ren nat=FCrlich =
die
>
> Ich will es gerne versuchen: WMs Ansatz scheint der folgende zu sein
> (ich bitte ggf. um Korrekturen): In einem endlichen bin=E4ren Baum k=F6n=
nen
> wir Kantengewichte so verteilen, dass f=FCr jede Kante das Produkt aus
> ihrem Gewicht und der Anzahl Pfade durch diese Kante gleich 1 ist. Im
> vollst=E4ndigen Baum sind (schon aus Symmetriegr=FCnden) die Gewichte ein=
erh
> Ebene alle gleich:
>
>
> o
> / \ 1/4
> /\ /\ 1/2
> /\/\/\/\ 1
>
> Es ist nun offensichtlich, was mit diesen Gewichten passiert, wenn man
> an den Baum unten eine weitere Ebene anh=E4ngt, aber die genannte
> Eigenschaft behalten will: Sie werden alle halbiert, weil die Anzahl der
> Pfade verdopelt wird. Auch ist klar, dass die Summe der Kantengewichte
> entlang eines Pfades in einem vollst=E4ndigen bin=E4ren Baum der H=F6he n
> gerade 2-1/2^n ist. Die Summe aller Summen von Kantengewichten =FCber
> alle Pfade muss nat=FCrlich gleich der Summe aller Kantengewichte mal
> Anzahl der durch sie gehenden Pfade sein, schlie=DFlich werden einfach nur
> endliche Summen umsortiert.
Das ist sehr sch=F6n wiedergegeben. Allein die Berechnung der Kantengewichte kann so nicht erfolgen. >
> WMs Argument ist nun, dass man einfach nur den Grenzwert f=FCr n gegen
> unendlich betrachten m=FCsse und k=F6nne damit zeigen, dass die Anzahl der
> Pfade bis auf endliche Konstanten gleich der Anzahl der Kanten sei.
> Dieser Schritt birgt eine ganze Reihe von Fallstricken, die nicht gerade
> selten sind und die man eigentlich (er-)kennen sollte. Beispielsweise:
>
> - Es fehlt eine Argumentation, in welchem Sinne die betrachteten Gr=F6=DF=
en
> denn stetig von der H=F6he des Baums abh=E4ngen sollen. Konstanz gen=FCgt
> dabei nicht, wie das klassische Beispiel mit der L=E4nge der
> Treppendiagonalen zeigt. Ohne ein Stetigkeitsargument ist es nachgerade
> fahrl=E4ssig, lim f(x_n) =3D f(lim x_n) zu setzen, was WM allerdings tut =
(er
> will den rechten Wert erhalten und berechnet daf=FCr den linken).
> Einfacher w=E4re es, gar nicht erst mit einer endlichen Argumentation zu
> beginnen, aber damit bricht der ganze Ansatz zusammen,
Das Stetigkeitsargument liefert der Baum selbst. Ein Pfad(b=FCndel) kann sich nur von einem anderen separieren, wenn dies per eigene Kante geschieht. Deswegen verwende ich den Baum. Die Treppendiagonale hat damit nichts zu tun. > - Die geometrische Reihe muss irgendwo anfangen. Bei den endlichen
> Pfaden beginnt sie am Blatt, aber der unendliche Baum hat ja gar keine
> Bl=E4tter (denn ein Blatt w=E4re das Ende eines, nun ja, unendlichen Pfad=
es).
Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... besitzt den Wert 2, ohne da=DF sie irgendwo aufh=F6rt. Warum mu=DF meine irgendwo anfangen? Wir ben=F6tigen lediglich den Grenzwert des folgenden Objektes: 1 1/2 + 1 1/4 + 1/2 + 1 1/8 + 1/4 + 1/2 + 1 .=2E. Ich sage "Objekt", weil ich ihm in der Literatur noch nicht begegnet bin und daher seinen Namen nicht kenne, wenn es denn schon einen besitzen sollte. Trotzdem wage ich zu behaupten, da=DF der Grenzwert f=FCr die Gliederzahl n --> oo genau 2 ist. Der Nachweis geschieht wie =FCblich. Das Subobjekt mit n Summanden nenne ich K_n. | K_n - 2 | =3D 1/2^(n-1), wird also beliebig klein. >
> - Au=DFerdem: Im Grenzwert haben *alle* Kanten ein Kantengewicht von
> *exakt* Null, womit das Vergleichsargument ebenfalls zusammenbricht.
Das ist wieder Zenons Sichtweise. Ein fallendes Hirsekorn verursacht kein Ger=E4usch, also verursacht ein fallender Sack voller Hirsek=F6rner auch kein Ger=E4usch. Nicht anders ist das bei sinx / x f=FCr x --> 0. Die separate Berechnung von Z=E4hler und Nenner f=FChrt zu nichts. Wir haben es aber nicht n=F6tig, die Gewichte einzelner Kanten zu bestimmen, sondern es gen=FCgt, lim (n-->oo) ( 2^(n+1) - 2) / 2^n =3D 2 zu berechnen. So. F=E4llt Dir noch etwas ein, oder sind wir fertig? Nehmen wir einmal an, Du w=FCrdest einsehen, da=DF Deine Argumente nicht greifen. Was w=E4re daraus zu schlie=DFen? Gru=DF, WM
On 25 Jan 2006 04:15:30 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> So. Fällt Dir noch etwas ein, oder sind wir fertig?
>
W a s bitte glaubst Du denn nun genau "bewiesen" zu haben? :-o Kannst Du eine Bijektion zwischen der Menge der (unendlichen) Pfade (des unendlichen Baums) und der Menge der natürlichen Zahlen angeben? Wenn nein, hast Du damit leider immer noch nicht bewiesen, was Du bis- lang *behauptet* hast (nämlich, dass die Menge der Pfade im unendlich- en Baum /abzählbar/ unendlich wäre). A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM wrote:
> So. Fällt Dir noch etwas ein, oder sind wir fertig?
Für den Moment genügen mir die bereits genannten Argumente. Dass Du ihre Relevanz und Korrektheit nicht sehen *willst*, ist mir schon klar. > Nehmen wir einmal
> an, Du würdest einsehen, daß Deine Argumente nicht greifen. Was wäre
> daraus zu schließen?
Dann müsste ich nach weiteren Fehlern in der Argumentation suchen. Würde ich keine finden, würde ich als Nächstes versuchen, die Argumentation zu einem vernünftigen Beweis umzuformulieren. Sollte mir das gelingen, wären wir beide anschließend vielleicht ziemlich verhasst, auf jeden Fall äußerst bekannt. Aber das ist eine ausgesprochen theoretische Überlegung. Gruß, Christopher
Amicus schrieb: > On 29 Jan 2006 03:10:58 -0800, "albrecht" <albstorz@gmx.de> wrote:
>
> >>
> >> Cantors Listenargument hantiert ausschlie=DFlich mit endlichen Zahlen =
und
> >> beweist damit, dass die angegebene Zahl ("Antidiagonale") f=FCr jedes =
n e
> >> IN *nicht* in Zeile n steht.
> >>
> Hier hat sich Christopher Creutzig m=F6glicherweise etwas ungl=FCcklich
> ausgedr=FCckt: Es wollte damit nat=FCrlich n i c h t sagen, dass alle in
> der "Liste" aufgef=FChrten Zahlen (d. i. die in der Folge auftretenden
> Zahlen) eine _endliche_ Dezimaldarstellung besitzen w=FCrden. Das ist
> nat=FCrlich i.A. nicht der Fall. (Aber er behauptet das ja auch nicht!)
An seiner Aussage ist =FCberhaupt nichts auszusetzen. Er wollte sagen und hat gesagt, da=DF jede nat=FCrliche Zahl n endlich ist. Jede Zeile der Liste (von denen es unendlich viele gibt) wird durch eine endliche Zahl numeriert. Die Zahlen in den Zeilen sind sowieso endlich, weil aus dem Intervall [0, 1]. Das hei=DFt nicht, da=DF sie abbrechende Dezimaldarstellungen besitze. >
> Was aber richtig ist, ist, dass bei der Konstruktion (bzw. Definition)
> der n-ten Stelle der "Antidiagonalen" jeweils nur die n-te Zeile (mit
> n e IN) aus der "Liste" zu ber=FCcksichtigen ist. Mit "unendlichen"
> Zeilennummern wird also nicht hantiert. Und auch irgendwelche "Grenz-
> =FCberg=E4nge" (was immer das auch sein soll) sind nicht relevant hier.
Sie sind nirgends relevant, wo nur endliche nat=FCrliche Zahlen betrachtet werden, wie z.B. bei den stellen einer Dezimalzahl. Deswegen gibt es ja gar keine irrationalen Zahlen. >
> Es geht hier wieder um den grundlegenden Sachverhalt: Die unendliche
> Menge IN der nat=FCrlichen Zahlen enth=E4lt nur endliche Zahlen.
Gut erkannt. Und so ist es auch mit den Ebenen meines bin=E4ren Baums. Gru=DF, WM
On 30 Jan 2006 00:30:31 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> [...] Deswegen gibt es ja gar keine irrationalen Zahlen.
>
Ich schließe mich hier der Meinung eines Posters in sci.math an: "[...] take up basket weaving instead of mathematics. It is more suitable for you." (from sci.math, @Mückenheim ) A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Wed, 25 Jan 2006 17:21:55 +0100, Christopher Creutzig
<christopher@creutzig.de> wrote: >
> [...] Aber das ist eine ausgesprochen theoretische Überlegung.
>
Eher eine ausgesprochen /hypothetische/ Überlegung. Ein Philosoph
würde hier vermutlich sogar das Wort "kontrafaktisch" gebrauchen. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On Wed, 18 Jan 2006 14:29:22 +0100, Markus Sigg <nomail@infimum.de>
wrote: >[Snip]
>Jeder Oberrealschüler kann sehen, daß Ihre undefinierten und uneinheitlich
>benutzten Begriffe ("Pfad", "Pfadbündel", "letzte Kante") faul sind.
Das macht er immer so; wie es ihm gerade passt wechselt er die
Begriffe, um seinen albernen "Beweis" zu zeigen. Das die Anzahl der Pfadbündel (Menge von Pfaden) abzählbar unendlich - genau wie die Kanten - sind, bestreitet ja keiner; das hat er auch noch nicht gerafft. Nur, dass es in einem unendlichen Baum keine Pfadbündel mit nur einem Pfad gibt, das zu begreifen, dafür reichts halt nicht bei ihm. (In sci.math haben sie ihn nur ausgelacht und ihm geraten Korbe zu flechten) >Falls Ihre Argumentation sauber ist, läßt sie sich auch präzisieren und
>mathematisch formulieren. Machen Sie das doch einfach!
>
>Gruß,
>Markus Sigg
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
Markus Sigg schrieb: > Wie man solche Dinge mathematisch pr=E4zisiert, lernt man (u.a. am Beispi=
el
> des Cantor-Beweises) meist im ersten Semester.
Deswegen glauben manche Nichtselbstdenker auch bis an ihr Lebensende daran und k=F6nnen sich nicht vorstellen, da=DF da eine klitzkleine Inkosistenz auftreten k=F6nnte. Die Vorstellung des bin=E4ren Baums ist ein so einfache, da=DF man sie entweder spontan versteht - oder eben nicht. Gru=DF, WM
On 18 Jan 2006 01:57:39 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> Die Vorstellung des binären Baums ist ein so einfache, daß man sie
> entweder spontan versteht - oder eben nicht.
>
Das trifft vielleicht für einen _endlichen_ binären Baum zu. Für den
_unendlichen_ binären Baum ganz offensichtlich nicht. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
On 18 Jan 2006 01:57:39 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
>Markus Sigg schrieb:
>> Wie man solche Dinge mathematisch präzisiert, lernt man (u.a. am Beispiel
>> des Cantor-Beweises) meist im ersten Semester.
>
>Deswegen glauben manche Nichtselbstdenker auch bis an ihr Lebensende
>daran und können sich nicht vorstellen, daß da eine klitzkleine
>Inkosistenz auftreten könnte.
>
>Die Vorstellung des binären Baums ist ein so einfache, daß man sie
>entweder spontan versteht - oder eben nicht.
Genau, oder eben nicht. Sie haben es nicht verstanden, sonst würden
sie nicht so falsche Argumente benutzen. >Gruß, WM
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
WM wrote:
> Markus Sigg schrieb:
>
>>Wie man solche Dinge mathematisch präzisiert, lernt man (u.a. am Beispiel
>>des Cantor-Beweises) meist im ersten Semester.
>
>
> Deswegen glauben manche Nichtselbstdenker auch bis an ihr Lebensende
> daran und können sich nicht vorstellen, daß da eine klitzkleine
> Inkosistenz auftreten könnte.
Mehr als Polemik haben Sie nicht? Wie gesagt: Wenn Sie eine Inkonsistenz gefunden habe, dann ist es eine Inkonsistenz in *Ihrem* unscharfen System, nicht in der Mathematik. > Die Vorstellung des binären Baums ist ein so einfache, daß man sie
> entweder spontan versteht - oder eben nicht.
Genau: Oder eben nicht. Wer die Vorstellung nicht präzisieren kann, hat das Ding auch nicht verstanden. Gruß, Markus Sigg
hbdere schrieb:
> WM wrote:
>
>>Sascha Müller schrieb:
>>
>>>Es zeugt auch nicht gerade von messerscharfem Schlussfolgern, wenn man
>>>bei unendlicher Elementanzahl von einem "höchsten Resultat" redet.
>>
>>Es zeugt ebensowenig davon, wenn man von einer "vollendeten
>>Unendlichkeit" redet. das ist nämlich die Meinung von "aktual".
>
> Meine Guete, haben Sie eigentlich nichts besseres zu tun? Sie sollten
> wieder zu Ihrem Binaerbaum zurueckkehren, da war Ihre Argumentation
> naemlich einfach nur falsch. Hier ist es nur noch voellig sinnfreies
> Schwadronieren. Wen auf der weiten Welt interessiert es denn nur fuer
> fuenf Pfennig, ob "oo" nun als "Zahl" oder als "Quantitaet" gemeint
> ist? Es ist ein einfaches Symbol. Man kann es als ein vorher nicht
> enthaltenes Element zu |N dazutun, und bekommt |N \cup {oo}. Dann kann
Einspruch. > man Addition etc. geeignet definieren.
> Diese ganze "Kritik" ist so eine Art verklemmter Platonismus verquickt
> mit einer hoechst fraglichen Semiotik: Einerseits wird gefordert, die
> Mathematik solle irgendwie "wahr" sein, irgendwelche Ideale nachbilden,
> und dann wiederum kann sie es nicht recht machen, weil sie dabei sich
> die Freiheit nimmt, gelegentlich mal etwas ueber ABSOLUT KLARE
> Sachverhalte drueberzuwischen und das Wort "Zahl" fuer mehr als einen
> Begriff, der aber aus dem Kontext immer klar ist, zu verwenden. Das
> Verbrechen der Mathematik ist dabei nicht groesser als das der Physik,
> die auch schon mal einen Buchstaben fuer zwei verschiedene Sachen
> verwendet haben soll.
> Viel besser waere es, Sie wuerden Ihren binaeren Baum mal in einem
> kurzen Dokument hinschreiben, dazu einen Beweis, warum daraus
> wasauchimmer folgt, und dann koennen die Leute hier Ihnen sagen, wo der
> Fehler liegt. Das waere doch fuer alle hilfreich. Und zudem waere es
> beinahe schon "echte" Mathematik.
>
Am besten dann aber unter neuem Thread (Vorschlag "Binaerbaum"), von
Anfang an. Rudolf Sponsel, Erlangen
Benno Hartwig schrieb: > "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> schrieb
>
> > ...
> > 10^n Zahlen passen in eine Menge, deren gr=F6=DFte Zahl nicht kleiner a=
ls
> > 10^n ist.
> > n Zahlen passen in eine Menge, deren gr=F6=DFte Zahl nicht kleiner als =
n=2E
>
> > omega Zahlen passen in eine Menge, deren gr=F6=DFte Zahl nicht kleiner
> > als omega ist.
>
> Das behauptest du einfach mal, weil es so sch=F6n in die Reihe passt.
> Ein Beweis ist sowas sicher nicht, denn
> "n Zahlen passen in eine Menge, deren gr=F6=DFte Zahl nicht kleiner als n=
."
> wissen wir ja nur f=FCr 'richtigen' (diesen Terminus =FCbernehme ich von
> dir) nat=FCrliche Zahlen.
> Dass das auch f=FCr die 'nicht richtigen' gilt (was auch immer das
> genau sein mag), wolltest du ja gerade beweisen.
> Eine einfache Behauptung reicht da immer noch nicht.
Nachtrag zur Verdeutlichung: Jede Menge von nat=FCrlichen Zahlen, die wir in ein endliches Intervall quetschen k=F6nnen, ist notwendig eine endliche Menge. Die Aussage "WENN endliches Intervall, DANN endliche Menge" ist logisch =E4quivalent zu ? (=DCbungsaufgabe). Beachte: Es geht nur um *richtige* nat=FCrliche Zahlen! Gru=DF, WM
WM schrieb: > Cantor hat in der Regel von ganzen Zahlen gesprochen, wenn er
> nat=FCrliche Zahlen meinte. Wenn der Bezug nicht klar war, so hat er
> "positive ganze Zahlen" geschrieben. Der Ausdruck "nat=FCrliche Zahlen"
> kommt bei ihm aber auch vor.
>
> Seine transfiniten Zahlen hat er nat=FCrlich nicht als nat=FCrliche Zahlen
> bezeichnet,
Korrektur. Denn es handelt sich um eine Erweiterung resp. Fortsetzung der realen ganzen Zahlenreihe =FCber das Unendliche hinaus; so gewagt dies auch scheinen m=F6chte, kann ich dennoch nicht nur die Hoffnung, sondern die feste =DCberzeugung aussprechen, da=DF diese Erweiterung mit der Zeit als eine durchaus einfache, angemessene, nat=FCrliche wird angesehen werden m=FCssen. (p. 165) .=2E. gl=FCcklicherweise stellt sich ihnen aber, wie wir sehen werden, ein drittes Prinzip, welches ich das Hemmungs- oder Beschr=E4nkungsprinzip nenne, entgegen, wodurch dem durchaus endlosen Bildungsproze=DF sukzessive gewisse Schranken auferlegt werden, so da=DF wir nat=FCrliche Abschnitte in der absolut unendlichen Folge der realen ganzen Zahlen erhalten, welche Abschnitte ich Zahlenklassen nenne. .=2E Unsere oben erw=E4hnten Zahlenklassen der bestimmt-unendlichen realen ganzen Zahlen weisen sich nun als die nat=FCrlichen, in einheitlicher Form sich darbietenden Repr=E4sentanten der in gesetzm=E4=DFiger Folge aufsteigenden M=E4chtigkeit von wohldefinierten Mengen aus. (p. 167) Es soll nun gezeigt werden, wie man zu den Definitionen der neuen Zahlen gef=FChrt wird und auf welche Weise sich die nat=FCrlichen Abschnitte in der absolut-unendlichen realen ganzen Zahlenfolge, welche ich Zahlenklassen nenne, ergeben. (p. 195) .=2E. wo beta Zahlen unserer nat=FCrlichen erweiterten Zahlenreihe von omega an durchl=E4uft (p. 201). Alle Zitate aus G E O R G C A N T O R, GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS Mit erl=E4uternden Anmerkungen sowie mit Erg=E4nzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind Herausgegeben von ERNST ZERMELO Nebst einem Lebenslauf Cantors von ADOLF FRAENKEL Nachdruck 1966, GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM Ich verzichte darauf, die letzten 250 Seiten zu durchsuchen, denn es scheint mir genug. Gru=DF, WM
WM schrieb: > Helmut B=FCch schrieb:
>
>
> > PS: Hat Cantor wirklich gesagt, es g=E4be unendlich gro=DFe nat=FCrlich=
e Zahlen?
>
> Ja. =DCberendliche ganze Zahlen, aktual unendlich Zahlen etc.
>
> > Wo?
> Zitat:
> Hier wird f=E4lschlich vorausgesetzt, eine aktualunendliche Zahl m=FCsse
> notwendig (weil man bei endlichen Zahlen daran gew=F6hnt ist) eine ihr
> zun=E4chst vorhergehende ganze Zahl haben, aus welcher sie durch
> Hinzuf=FCgung der Eins hervorginge.
> Cantor, Werke, S. 394 und an vielen anderen Stellen.
Zusatz: "... wo beta Zahlen unserer nat=FCrlichen erweiterten Zahlenreihe von omega an durchl=E4uft." Es geht um die Zahlen omega+1, omega+2, ... G E O R G C A N T O R, GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS Mit erl=E4uternden Anmerkungen sowie mit Erg=E4nzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind Herausgegeben von ERNST ZERMELO Nebst einem Lebenslauf Cantors von ADOLF FRAENKEL Nachdruck 1966, GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM, p. 201. Gru=DF, WM
Christian Kortes schrieb:
> peter schurr wrote:
> >> >> Es gibt in IN unendlich viele,
> >> >> unendlich grosse Zahlen. Diese haben unendlich viele Stellen.
>
> > Zu diesem Sachverhalt hab ich schon an anderer Stelle geantwortet, aber
> > es geht auch einfacher:
> > Nenne dir doch einfach selbst die Zahl die sich ergibt, wenn du die
> > Nachkommastellen von "Pi" so behandelst, als handele es sich um eine
> > nat=FCrliche Zahl...
>
> Es ist aber keine nat=FCrliche Zahl, sondern eine unendliche Folge von
> Ziffern:
>
> 141592653589793238462643383279502884197...
Hab ich auch nicht behauptet, sondern nur den Hinweis gegeben, er solle
diese Folge so behandeln als ob... Falls du es noch nicht bemerkt hast: Ich benutze diese Hinweise auf die numerisch nicht gegebene Eindeutigkeit von transzendenten Zahlen, genau deswegen: Um ironisch auf euer "wasch mich, aber mach mich nicht nass" -Gedruckse bzgl. der Benutzung des Unendlichkeitsbegriffs hinzuweisen. Z=2EB. euer : Unendlich viele Ja, aber unendlich grosse Nein, in Bezug auf die n e IN. F=FCr mich sind Ordinalit=E4t und Kardinalit=E4t bei den nat=FCrlichen Zahlen nicht nur bijektiv sondern bijunctiv, sofern man f=FCr beide Eigenschaften den selben Unbegrenztheitsbegriff ansetzt. >=20
> "Griff ins Klo"
Jau, geh halt Finger waschen.
Gruss Peter
Markus Sigg schrieb: > Mir ist unklar, auf welcher mathematischen Grundlage Sie argumentieren.
Ich bin flexibel und stelle es Ihnen frei. Ganz unmi=DFverst=E4ndlich, (hoffentlich): es gibt zwei Alternativen: 1) Saubere Mathematik ohne =FCberendliche nat=FCrliche Zahlen und ohne die Restriktionen, zu denen die FOPL notwendig zwingt (zum Beispiel den Verzicht auf Argumente zum bin=E4ren Baum). 2) FOPL-ZF(C) mit der Notwendigkeit, ein abz=E4hlbares Modell f=FCr eine im Kern =FCberabz=E4hlbare Theorie zu akzeptieren. > An einer anderen Stelle haben Sie die Diskussion (mit Herrn Thumser)
> anscheinend abgebrochen, weil Sie eine andere Vorstellung von Logik
> haben, als in der Mathematik =FCblich. Wenn Sie irgendetwas behaupten,
> sollten sie es daher grunds=E4tzlich mit Literaturangaben versehen (es gi=
bt
> ja genug B=FCcher =FCber Logik und Modelltheorie), falls es sich um allge=
mein
> anerkannten Stoff handelt.
Ich glaube, Punkt (2) oben ist hinreichend bekannt. > Soweit es hingegen um Ihre eigene Sichtweise der
> Dinge geht, sollten Sie Ihre Theorie zuerst zu einem konsistenten Ganzen
> entwickeln und als Arbeitsgrundlage niederschreiben.
Das ist (1), die Mathematik vor 1870. Sollte unter Mathematikern auch noch hinreichend bekannt sein. > Sonst ist keine sinnvolle
> Auseinandersetzung m=F6glich (wie man zur Gen=FCge beobachten kann), und =
Sie
> werden sich endlos weiter im Kreise drehen. Oder vielleicht gen=FCgt Ihne=
n das?
Ich hoffe, da=DF meine obigen Angaben an Deutlichkeit nichts zu w=FCnschen =FCbrig lassen. Gru=DF, WM
Rudolf Sponsel schrieb: > WM schrieb:
> > Rudolf Sponsel schrieb:
> >
> ...
> Ich beschr=C3=A4nke mich mal auf Pi.
> >
> > Richtig. Und noch kein Techniker hat die Zahl pi benutzt. (Ein
> > Mathematiker auch nicht, aber die werden das wieder abstreiten.)
> >
> Wenn das sophistisch hei=C3=9Fen soll, da=C3=9F mit dem exakten Wert von =
pi noch
> nie jemand gerechnet hat, ja. Aber das meint ja kaum jemand.
Das meint einer, der meint, da=C3=9F pi von allen anderen Zahlen unterschieden werden kann. Dies ist aber nicht m=C3=B6glich, wie mein Beispiel mit P und P' zeigt. >
> Ich verstehe zwar nicht viel von Mathematik und der Technik, aber so
> grob rundum-erinnert, kommt die Gr=C3=B6=C3=9Fe pi fast =C3=BCberall und =
oft vor.
Das Objekt, die Idee, meinetwegen k=C3=B6nnte man auch die Zahl pi sagen (ich tue es selbst, weil "die Irrationalit=C3=A4t" sich zu gespreizt anh=C3=B6rt), aber es f=C3=BChrt immer wieder zu der falschen Annahme, da= =C3=9F pi tats=C3=A4chlich eine Zahl w=C3=A4re, also mit jeder anderen Zahl in der >,=3D,<-Relation stehen mu=C3=9F. Das ist falsch, wie mein Beispiel mit P u=
nd P' schon f=C3=BCr rationale Zahlen zeigt.
>
> Wie berechnest Du einen Kreisumfang, die Kreisfl=C3=A4che oder z.B. die
> Volumina von F=C3=A4ssern - ich nehme ja nicht an, da=C3=9F Du meinst, wi=
r sollten
> Kreise, F=C3=A4sser, Kugeln oder das Runde schlechthin abschaffen?
Ich berechne diese Gr=C3=B6=C3=9Fen genau so wie Du und jeder Mathematiker.= Ich will und werde ganz bestimmt keine eigene Mathematik aufmachen. Ich verwende genau dieselben Algorithmen wie jeder andere. Ich wei=C3=9F aber, da=C3=9F es nichts aktual Unendliches gibt - auch wenn das andere noch so unersch=C3=BCtterlich glauben oder sogar zu wissen meinen. >
> Historische Anmerkung: Las k=C3=BCrzlich in einer Mathematikerbiographie,=
da=C3=9F
> im Mittelalter "die Zahl pi noch mit 2 : 3 angenommen wurde". Kann ich
> mir kaum vorstellen (w=C3=A4re was f=C3=BCr HK).
pi =3D 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einf=C3=BChren. Ganz fr=C3=BCher war man besser, aber im Mittelalter erlitt die Mathemaik einen gro=C3=9Fen R=C3=BCckschlag (ungef=C3=A4hr so wie zum Ende des 19 Jahrhunderts). Hier sind ein paar Daten, falls es Dich interessiert. =C3=84gypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 =3D (8/9)2 =3D 3,16... Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p =3D 3 + 1/8 =3D 3,125 Juden: 5. Jhd. v.Chr.: p =3D 3 Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang. [Bibel, 1. K=C3=B6nige 7,23 und II. Chronik 4,2] Griechen: Archimedes (287 - 212): p =3D 22/7 =3D 3,1428... Chinesen: Tsu Ch=E2=80=99ung-Chih (430 - 501) fand den erstaunlich genauen Wert: p =3D 355/113 =3D 3,1415929... den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: p =3D 157/50 =3D 3,14 Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): p =3D =EF=83=9610 =3D 3,16... Mittelalter: R=C3=BCckfall in die Barbarei Michael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. p =3D =EF=83=968 =3D 2,828... Franco von L=C3=BCttich, 11. Jhd. p =3D (9/5)2 =3D 3,24 Adrian Metius (1585): p =3D 355/113 =3D 3,1415929... wiederentdeckt Rechenleistungen Ludolph van Ceulen (K=C3=B6ln) hatte 1596 p auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen =EF=83=9ELudolphs Zahl Isaac Newton (1642 - 1727) berechnete 15 Stellen 1665 zum Zeitvertreib Abraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 Stellen Sherwin 72 Stellen Machin (1680 - 1752), berechnete 100 Stellen in 1706 Leonhard Euler (1707 =E2=80=93 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 Stell= en Lamy: 127 Stellen John Dase (1824 - 1861), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 Stellen William Shanks (1812 - 1882) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, sp=C3=A4ter (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527. Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift. 1947 berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner. 1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden 1957 10000 Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren 1958 IBM 704: 10.000 Stellen in 100 Minuten 1961 IBM 7090: 100.000 Stellen in 9 Stunden 1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag 1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen 1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden 1987 100 Mio. inzwischen ca. 10 Mia. Stellen (Univ. Tokyo) Die Ziffern scheinen normal verteilt, p scheint eine normale Zahl zu sein. F=C3=BCr aktuellere Angaben oder Fehlermeldungen w=C3=A4re ich dankbar. Gru=C3=9F, WM
On 2006-01-18, WM <mueckenh@rz.fh-augsburg.de> wrote:
> pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
Eher nicht: http://www.acc.umu.se/~olletg/pi/indiana.html oder http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node18.html -- fiesh
On 18 Jan 2006 06:01:12 -0800, "WM" <mueckenh@rz.fh-augsburg.de>
wrote: >
> [1995] ca. 10 Mia. Stellen (Univ. Tokyo)
>
Inzwischen sind es über 206 Mrd. Stellen! :-o
The old world record for computation of the most digits of pi was achieved in September/October 1995 by Yasumasa Kanada at the University of Tokyo. It took 116 hours for him to compute 6,442,450,000 decimal places of Pi on a computer. [...] As of September 1999, we know 206,158,430,000 decimals of Pi (Takahashi and Kanada, calculated on a Hitachi SR8000 supercomputer). Siehe: http://pi.lacim.uqam.ca/eng/pihistory_en.html A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
WM schrieb:
> Rudolf Sponsel schrieb:
>>WM schrieb:
>>>Rudolf Sponsel schrieb:
>>>
>>...
>>Ich beschränke mich mal auf Pi.
>>
...
>
> Das Objekt, die Idee, meinetwegen könnte man auch die Zahl pi sagen
> (ich tue es selbst, weil "die Irrationalität" sich zu gespreizt
> anhört), aber es führt immer wieder zu der falschen Annahme, daß pi
> tatsächlich eine Zahl wäre, also mit jeder anderen Zahl in der
>
>>,=,<-Relation stehen muß. Das ist falsch, wie mein Beispiel mit P und P' schon für rationale Zahlen zeigt.
>>
Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das auch EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht beliebig genau vergleichen. Wie steht es mit einem Rettungsversuch, auf Trichotomie teilweise zu verzichten? Wieso die Trichotomie nicht für rationale Zahlen gelten soll, verstehe ich nicht. .... >
> pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
> Ganz früher war man besser, aber im Mittelalter erlitt die Mathemaik
> einen großen Rückschlag (ungefähr so wie zum Ende des 19
> Jahrhunderts). Hier sind ein paar Daten, falls es Dich interessiert.
>
> Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 = (8/9)2 = 3,16...
> Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p = 3 + 1/8 = 3,125
... Danke, sehr beeindruckend. >
> Gruß, WM
>
Rudolf Sponsel, Erlangen.
On Wed, 18 Jan 2006 17:38:18 +0100, Rudolf Sponsel
<rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote: >WM schrieb:
>> Rudolf Sponsel schrieb:
>>>WM schrieb:
>>>>Rudolf Sponsel schrieb:
>>>>
>>>...
>>>Ich beschränke mich mal auf Pi.
>>>
>...
>>
>> Das Objekt, die Idee, meinetwegen könnte man auch die Zahl pi sagen
>> (ich tue es selbst, weil "die Irrationalität" sich zu gespreizt
>> anhört), aber es führt immer wieder zu der falschen Annahme, daß pi
>> tatsächlich eine Zahl wäre, also mit jeder anderen Zahl in der
>>
>>>,=,<-Relation stehen muß. Das ist falsch, wie mein Beispiel mit P und P' schon für rationale Zahlen zeigt.
>>>
>
>Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
>könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das auch
>EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht beliebig genau
>vergleichen.
Mensch, Rudolf, erkennst du denn nicht den argumentativen Schwachsinn von EB und WM? Selbverständlich kann ich sagen, ob sqrt(2)>sqrt(6) ist oder nicht. Wenn es an der numerischen Darstellung festgemacht werden soll, so kann ich, nach Mückenheim, auch nicht entscheiden, ob eine rationale Zahl mit 10^10^1000 Stellen größer, gleich, oder kleiner ist, als die gleiche Zahl mit einer gesetzen 5 and die 10^10^1000.ste Stelle. Von daher unterscheiden sich irrationale Zahlen nicht von rationalen. Für Mathematiker spielt halt die numerische Darstellung keine so wichtige Rolle, weil es äquivalente, besser geeignete Darstellungen gibt. >Wie steht es mit einem Rettungsversuch, auf Trichotomie teilweise zu
>verzichten?
>
>Wieso die Trichotomie nicht für rationale Zahlen gelten soll, verstehe
>ich nicht.
>
>....
>
>>
>> pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen. >> Ganz früher war man besser, aber im Mittelalter erlitt die Mathemaik
>> einen großen Rückschlag (ungefähr so wie zum Ende des 19
>> Jahrhunderts). Hier sind ein paar Daten, falls es Dich interessiert.
>>
>> Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 = (8/9)2 = 3,16...
>> Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p = 3 + 1/8 = 3,125
>
>...
>
>Danke, sehr beeindruckend.
>>
>> Gruß, WM
>>
>Rudolf Sponsel, Erlangen.
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
Rolf Albinger wrote:
> On Wed, 18 Jan 2006 17:38:18 +0100, Rudolf Sponsel
>>>pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>
> Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
> Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
Hallo Rolf, es gab Zeitungsenten (und Aprilscherze), wo u.a. den Bundesstaaten Alabama, Kansas und Tennessee so eine Gesetzgebung unterstellt wurde. Bei der Indiana-Geschichte von 1897 handelt es sich um eine Gesetzesvorlage (House Bill), die allerdings nie verabschiedet wurde. Ich hab mal mit '"pi equals 3" Indiana 1897' gegoogelt und u.a. dies http://www4.geometry.net/math_help_desk/value_of_pi.html und dies gefunden: http://arshermeneutica.org/wiki/index.php?title=Legislating_the_Vaue_of_Pi&printable=yes "The most famous -- and only known – case of a state legislature in the US attempting to create by law a new value for pi was that of Indiana in 1897; it has become legendary, and the basis of myth and hoax. Although it has come to represent the occasional ignorance of innumerate legislators, it was not so obviously a bad idea at the time." Ein gewisser Dr. Goodwil, Hobbymathematiker, hatte einen Senator, ein Mr. Record, gefunden, der seinen Vorschlag der Regierung unterbreitet hat, und war offenbar der einzige, der das "wollte". Record selbst hatte den Text angeblich nicht mal gelesen. Und hätte ihn wohl auch nicht verstanden, muss ziemlich krauses Zeugs gewesen sein, denn Goodwil machte darin mehr als ein halbes Dutzend Vorschläge zur Festlegung der Zahl pi, u.a. 3,2 und 3,1. Den Originaltext von "House Bill #246" hab ich leider nirgends gefunden. Gruß, Rainer
Rainer Willis schrieb:
> Rolf Albinger wrote:
>
>> On Wed, 18 Jan 2006 17:38:18 +0100, Rudolf Sponsel
>
>
>>>> pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>>
>>
>> Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
>> Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
>
Nein, war es nicht, wie ich inzwischen 'ermittelt' habe. Das wirft kein
gutes Licht auf die Deutung "Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise". Dudley widmet der Geschichte ein eigenes Kapitel. >
> Hallo Rolf,
>
> es gab Zeitungsenten (und Aprilscherze), wo u.a. den Bundesstaaten
> Alabama, Kansas und Tennessee so eine Gesetzgebung unterstellt wurde.
>
> Bei der Indiana-Geschichte von 1897 handelt es sich um eine
> Gesetzesvorlage (House Bill), die allerdings nie verabschiedet wurde.
>
> Ich hab mal mit '"pi equals 3" Indiana 1897' gegoogelt und u.a. dies
>
> http://www4.geometry.net/math_help_desk/value_of_pi.html
>
> und dies gefunden:
>
> http://arshermeneutica.org/wiki/index.php?title=Legislating_the_Vaue_of_Pi&printable=yes
>
>
> "The most famous -- and only known – case of a state legislature in the
> US attempting to create by law a new value for pi was that of Indiana in
> 1897; it has become legendary, and the basis of myth and hoax. Although
> it has come to represent the occasional ignorance of innumerate
> legislators, it was not so obviously a bad idea at the time."
>
> Ein gewisser Dr. Goodwil, Hobbymathematiker, hatte einen Senator, ein
> Mr. Record, gefunden, der seinen Vorschlag der Regierung unterbreitet
> hat, und war offenbar der einzige, der das "wollte". Record selbst hatte
> den Text angeblich nicht mal gelesen.
> Und hätte ihn wohl auch nicht verstanden, muss ziemlich krauses Zeugs
> gewesen sein, denn Goodwil machte darin mehr als ein halbes Dutzend
> Vorschläge zur Festlegung der Zahl pi, u.a. 3,2 und 3,1.
>
> Den Originaltext von "House Bill #246" hab ich leider nirgends gefunden.
Textteile befinden sich in Dudley. >
> Gruß, Rainer
>
Rudolf Sponsel, Erlangen
Rainer Willis wrote:
> Den Originaltext von "House Bill #246" hab ich leider nirgends gefunden.
Oh doch, hier: http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node18.html Gruß, Rainer
On Thu, 19 Jan 2006 01:46:08 +0100, Rainer Willis
<rainerwillis@web.de> wrote: >
>Den Originaltext von "House Bill #246" hab ich leider nirgends gefunden.
>
HOUSE BILL NO. 246 A bill for an act introducing a new mathematical truth and offered as a contribution to education to be used only by the State of Indiana free of cost by paying any royalties whatever on the same, provided it is accepted and adopted by the official action of the legislature of 1897. Section 1. Be it enacted by the General Assembly of the State of Indiana: It has been found that a circular area is to the square on a line equal to the quadrant of the circumference, as the area of an equilateral rectangle is to the square on one side. The diameter employed as the linear unit according to the present rule in computing the circle's area is entirely wrong, as it represents the circles area one and one-fifths times the area of a square whose perimeter is equal to the circumference of the circle. This is because one-fifth of the diameter fils to be represented four times in the circle's circumference. For example: if we multiply the perimeter of a square by one-fourth of any line one-fifth greater than one side, we can, in like manner make the square's area to appear one fifth greater than the fact, as is done by taking the diameter for the linear unit instead of the quadrant of the circle's circumference. Section 2. It is impossible to compute the area of a circle on the diameter as the linear unit without trespassing upon the area outside the circle to the extent of including one-fifth more area than is contained within the circle's circumference, because the square on the diameter produces the side of a square which equals nine when the arc of ninety degrees equals eight. By taking the quadrant of the circle's circumference for the linear unit, we fulfill the requirements of both quadrature and rectification of the circle's circumference. Furthermore, it has revealed the ratio of the chord and arc of ninety degrees, which is as seven to eight, and also the ratio of the diagonal and one side of a square which is as ten to seven, disclosing the fourth important fact, that the ratio of the diameter and circumference is as five-fourths to four; and because of these facts and the further fact that the rule in present use fails to work both ways mathematically, it should be discarded as wholly wanting and misleading in its practical applications. Section 3. In further proof of the value of the author's proposed contribution to education, and offered as a gift to the State of Indiana, is the fact of his solutions of the trisection of the angle, duplication of the cube and quadrature having been already accepted as contributions to science by the American Mathematical Monthly, the leading exponent of mathematical thought in this country. And be it remembered that these noted problems had been long since given up by scientific bodies as unsolvable mysteries and above man's ability to comprehend. A. -- E-mail: amicus<at>simple<bindestrich>line<punkt>de
Rolf Albinger schrieb:
> On Wed, 18 Jan 2006 17:38:18 +0100, Rudolf Sponsel
> <rudolf-sponsel@sgipt.org> wrote:
>>WM schrieb:
>>>Rudolf Sponsel schrieb:
>>>>WM schrieb:
>>>>>Rudolf Sponsel schrieb:
>>>>>
>>>>
>>>>...
>>>>Ich beschränke mich mal auf Pi.
>>>>
>>
>>...
>>
>>>Das Objekt, die Idee, meinetwegen könnte man auch die Zahl pi sagen
>>>(ich tue es selbst, weil "die Irrationalität" sich zu gespreizt
>>>anhört), aber es führt immer wieder zu der falschen Annahme, daß pi
>>>tatsächlich eine Zahl wäre, also mit jeder anderen Zahl in der
>>>
>>>
>>>>,=,<-Relation stehen muß. Das ist falsch, wie mein Beispiel mit P und P' schon für rationale Zahlen zeigt.
>>>>
>>
>>Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
>>könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das auch
>>EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht beliebig genau
>>vergleichen.
>
>
> Mensch, Rudolf, erkennst du denn nicht den argumentativen
> Schwachsinn von EB und WM?
Es ging mir erst einmal ums Nachvollziehen. Muß zu meiner Schande gestehen, daß ich nicht verstand, wieso für die irrationalen Zahlen die Trichotomie an manchen Stellen nicht gelten soll. Noch nicht gelungen ist mir das Nachvollziehen, irrationalen Zahlen den Zahlenstatus absprechen zu wollen, aber ich bin vielleicht zu wenig theoretischer Fundi, um das entsprechende Interesse schon erst mal aufzubringen. ... >>
>>>pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>
> Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
> Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
>
Hm, wußtest Du das, WM?
Unbeschadet dieser Geschichte waren die historischen Beispiele schob beeindruckend. Als ich das von pi = 2/3 im Mittelalter las, wollte ich es gar nicht glauben. War die scholastische Logik nicht hochentwickelt? ... >
> Viel Spass weiterhin
> Rolf
Rudolf Sponsel, Erlangen
On Wed, 18 Jan 2006 20:35:11 +0100, Rudolf Sponsel
>[Snip]
>>>>pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>>
>> Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
>> Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
Sorry, hier muss ich mich entschuldigen. Ich habe das wohl mit der
Geschichte aus Kansas verwechselt. Aber die Kritik an WMs Arbeitsweise bleibt; ich nehme das Beispiel Pfadbündel -- Pfad . >[Snip]
>Rudolf Sponsel, Erlangen
Viel Spass weiterhin
Rolf -- Wo Eckhard B. argumentiert, ist Buridans Esel nicht weit
Rolf Albinger schrieb:
> On Wed, 18 Jan 2006 20:35:11 +0100, Rudolf Sponsel
>
>>[Snip]
>>
>>>>>pi = 3 wollte 1897 sogar der US-Bundesstaat Indiana wieder einführen.
>>>
>>>Hier sieht man genau WMs Arbeitsweise.
>>>Es ist nämlich nur eine Zeitungsente gewesen.
>
> Sorry, hier muss ich mich entschuldigen. Ich habe das wohl mit der
> Geschichte aus Kansas verwechselt.
[OT: Stark. Kompliment.] > Aber die Kritik an WMs Arbeitsweise bleibt; ich nehme das Beispiel
> Pfadbündel -- Pfad .
>
>>[Snip]
>>Rudolf Sponsel, Erlangen
>
> Viel Spass weiterhin
> Rolf
Rudolf Sponsel, Erlangen
On 1/18/2006 5:38 PM, Rudolf Sponsel wrote:
> WM schrieb:
> Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
> könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das auch
> EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht beliebig genau
> vergleichen.
So ist es. Wenn bei einem Nichtmathematiker der Groschen so langsam fällt, wie lange soll es dann bei jenen Mathematikern dauern, die selbstbewusster als pfiffig sind? >
> Wie steht es mit einem Rettungsversuch, auf Trichotomie teilweise zu
> verzichten?
>
> Wieso die Trichotomie nicht für rationale Zahlen gelten soll, verstehe
> ich nicht.
Für rationale Zahlen gilt generell Trichotomie. Allerdings haben die in IR eingetauchten ehemals rationalen Zahlen ihre Zahleneigenschaften (Trichotomie, Abzählbarkeit, vollständige numerische Adresse) eingebüßt. Sie sind mit perfekt unendlich vielen Stellen also schon gar keine richtigen Zahlen mehr sondern nur noch fiktive "Zahlen". WM sagt wohl, reelle Zahlen existieren nicht. Das könnte man ja gelten lassen, denn sie existieren ja nicht wirklich, wenn nicht dümmliche Leute reklamieren würden dass die irrationalen "Zahlen" doch bitteschön Zahlen sein müßten, schließlich heißen sie ja so. Die Idee dass irrationale "Zahlen" sämtlich nur fiktive Lösungen von numerisch nicht lösbaren Aufgaben sind, dass sie also über je eine Aufgabe trichotomisch exakt definiert sind kommt kaum jemand. Außerdem spielen die reellen/irrationalen "Zahlen" in der Analysis eine wichtige Rolle, nicht in numerischer Repräsentation sondern als miteinander auf abstrakter Ebene symbolisch zu verrechnende Objekte. Schließlich bilden die reellen "Zahlen" das echte nicht in einzelne Zahlen auflösbare Kontinuum. Gruß, Eckard
Eckard Blumschein wrote:
> On 1/18/2006 5:38 PM, Rudolf Sponsel wrote:
>> WM schrieb:
>
>> Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
>> könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das
>> auch EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht
>> beliebig genau vergleichen.
>
> So ist es.
JA! JA! JA! MIT UNENDLICH LANGEN ZEICHENKETTEN KANN MAN NICHT DIREKT OPERIEREN! Was für eine beeindruckende Entdeckung!!11111111!!!!!!!!! > Wenn bei einem Nichtmathematiker der Groschen so langsam fällt, wie
> lange soll es dann bei jenen Mathematikern dauern, die selbstbewusster
> als pfiffig sind?
Wie saublöd muß man eigentlich sein, um sich nicht denken zu können, daß Dedekind, Cantor und all den anderen der offensichtliche Umstand, daß man mit unendlich langen Zeichenketten nicht direkt umgehen kann, selbstverständlich selbstverständlich war? Wenn ich das heutige Postingaufkommen in dieser Gruppe von 0 Uhr bis 18:02 anschaue, so zähle ich 99 Beiträge. Davon sage und schreibe 11 (elf), die nicht in Schwachsinnsthreads stehen: 1 FAQ-Posting 2 "Frage zur Interpolation" 9 "funktion ist differenzierbar" Um 1 Beitrag habe ich mich jetzt irgendwo verzählt, das ändert aber nichts am Gesamtbild, das ich einfach mal für sich sprechen lasse. Blumschein hat gepostet: 8:37 58 Zeilen 8:43 46 Zeilen 10:06 148 Zeilen 10:34 28 Zeilen 10:50 43 Zeilen 13:14 153 Zeilen 13:32 47 Zeilen 14:21 42 Zeilen 14:37 69 Zeilen 15:47 156 Zeilen 16:09 88 Zeilen 16:17 15 Zeilen 16:23 17 Zeilen 16:40 29 Zeilen 16:41 10 Zeilen 16:53 34 Zeilen 17:41 83 Zeilen 18:02 43 Zeilen Was macht der Mann eigentlich, außer in d.s.m Unsinn zu posten und zwischen 10:50 und 13:14 auch noch eine Mittagspause? Es ist eine gewisse Korrelation zwischen der Länge der Postings (die aber auch die Zitate umfaßt) und ihrem zeitlichen Abstand zu beobachten. Wenn ich einen Angestellten hätte, bei dem ich so etwas bemerke, dann wäre da eine Abmahnung fällig. Ralf
On 1/18/2006 7:52 PM, Ralf Bader wrote:
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> On 1/18/2006 5:38 PM, Rudolf Sponsel wrote:
>>
>>> Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
>>> könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das
>>> auch EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht
>>> beliebig genau vergleichen.
>>
>> So ist es.
>
> JA! JA! JA! MIT UNENDLICH LANGEN ZEICHENKETTEN KANN MAN NICHT DIREKT
> OPERIEREN! Was für eine beeindruckende Entdeckung!!11111111!!!!!!!!!
>
>> Wenn bei einem Nichtmathematiker der Groschen so langsam fällt, wie
>> lange soll es dann bei jenen Mathematikern dauern, die selbstbewusster
>> als pfiffig sind?
>
> Wie saublöd muß man eigentlich sein, um sich nicht denken zu können, daß
> Dedekind, Cantor und all den anderen der offensichtliche Umstand, daß
> man mit unendlich langen Zeichenketten nicht direkt umgehen kann,
> selbstverständlich selbstverständlich war?
Zu viel Selbstverständlichkeit, keine Konsequenz. Lies im Pfad "Re: Das Ende der sog. Nichtabzählbarkeit" was ich heute 11.15 Uhr Florian Eisele antwortete. Es ist eine kurzgefasste Desillusionierung in 12 Punkten. Wenn du danach noch immer die ML verteidigen möchtest tue es bitte mit sachlichen Argumenten und nicht mit Spekulationen über mich und meine Mittagspause. Übrigens mache ich gar keine Pausen. E. Eckard
Ralf Bader schrieb:
> Eckard Blumschein wrote:
>>On 1/18/2006 5:38 PM, Rudolf Sponsel wrote:
>>>WM schrieb:
>>
>>>Hm - bei mir dämmert ein AHA-Erlebnis - für die irrationalen Zahlen
>>>könnte ich es an dieser Stelle nachvollziehen. Vermutlich meint das
>>>auch EB immer: unendlich lange Zahlen kann man letztlich nicht
>>>beliebig genau vergleichen.
>>
>>So ist es.
>
>
> JA! JA! JA! MIT UNENDLICH LANGEN ZEICHENKETTEN KANN MAN NICHT DIREKT
> OPERIEREN! Was für eine beeindruckende Entdeckung!!11111111!!!!!!!!!
>
>
>>Wenn bei einem Nichtmathematiker der Groschen so langsam fällt, wie
>>lange soll es dann bei jenen Mathematikern dauern, die selbstbewusster
>>als pfiffig sind?
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Tut mir leid, aber der Groschen hat mir in der Tat sehr lange gedauer |